cmath – математические функции для комплексных чисел¶cmath – Mathematical functions for complex numbers

Комплексные координаты¶Complex coordinates

Комплексные числа можно выразить с помощью двух важных систем координат. Тип complex в Python использует прямоугольные координаты, где число на комплексной плоскости определяется двумя числами с плавающей запятой: действительной и мнимой частями.

Определение:

z = x + 1j * y

x := real(z)
y := imag(z)

В технике для комплексных чисел популярна полярная система координат. В полярных координатах комплексное число определяется радиусом r и фазовым углом phi. Радиус r – это абсолютное значение комплексного числа, которое можно рассматривать как расстояние от точки (0, 0). Радиус r всегда равен 0 или положительному числу с плавающей запятой. Фазовый угол phi – это угол против часовой стрелки от положительной оси X, например, 1 имеет угол 0, 1j имеет угол π/2, а -1 – угол -π.

Определение:

z = r * exp(1j * phi)
z = r * cis(phi)

r := abs(z) := sqrt(real(z)**2 + imag(z)**2)
phi := phase(z) := atan2(imag(z), real(z))
cis(phi) := cos(phi) + 1j * sin(phi)

cmath.phase(x)¶

Возвращает фазу (также называемую аргументом) комплексного числа.

cmath.polar(x)¶

Преобразует complex из прямоугольных координат в полярные координаты. Функция возвращает кортеж из двух элементов: r и phi. r – это расстояние от 0, а phi – фазовый угол.

cmath.rect(r, phi)¶

Преобразует из полярных координат в прямоугольные и возвращает complex.

Функции модуля cmath¶cmath functions

cmath.acos(x)¶

Возвращает арккосинус x. Имеются два разреза ветвей: один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.acosh(x)¶

Возвращает гиперболический арккосинус x. Имеется один разрез ветвей, идущий влево\nот 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asin(x)¶

Возвращает арксинус x. Имеет те же разрезы ветвей, что и acos().

cmath.asinh(x)¶

Возвращает гиперболический арксинус x. Имеется два разреза ветвей:\nОдин простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j,\nнепрерывный справа. Другой простирается от -1j вдоль\nмнимой оси до -∞j, непрерывный слева.

cmath.atan(x)¶

Возвращает арктангенс x. Есть два разреза ветвей: один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывно справа. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывно слева.

cmath.atanh(x)¶

Возвращает гиперболический арктангенс x. Имеется два разреза ветвей: Один\nпростирается от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой\nпростирается от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный\nсверху.

cmath.cos(x)¶

Возвращает косинус x.

cmath.cosh(x)¶

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.exp(x)¶

Возвращает экспоненциальное значение e**x.

cmath.isinf(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x положительна или отрицательная бесконечность.

cmath.isnan(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x не является числом (NaN).

cmath.log(x[, base])¶

Возвращает логарифм x по заданному основанию. Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм x. Имеется один разрез ветви: от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.log10(x)¶

Возвращает десятичный логарифм x. Имеет тот же разрез ветвей, что и log().

cmath.sin(x)¶

Возвращает синус x.

cmath.sinh(x)¶

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.sqrt(x)¶

Возвращает квадратный корень x. Имеет тот же разрез ветвей, что и log().

cmath.tan(x)¶

Возвращает тангенс x.

cmath.tanh(x)¶

Возвращает гиперболический тангенс x.

Модуль также определяет две математические константы:

cmath.pi¶

Математическая константа pi в виде числа с плавающей запятой.

cmath.e¶

Математическая константа e, в виде числа с плавающей запятой.

Обратите внимание: набор функций похож, но не идентичен набору из модуля math. Причина существования двух модулей в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами и, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочли бы, чтобы math.sqrt(-1) вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также обратите внимание: функции, определённые в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ можно выразить действительным числом (в этом случае комплексное число имеет нулевую мнимую часть).

Примечание о разрезах ветвей: это кривые, вдоль которых данная функция перестаёт быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять комплексные функции, вы разбираетесь в разрезах ветвей. Для понимания обратитесь к любой (не слишком элементарной) книге по комплексному анализу. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных расчётов хорошим справочником может служить следующее издание: