14. Арифметика с плавающей запятой: проблемы и ограничения¶Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations

Числа с плавающей запятой представляются в компьютерном оборудовании в виде двоичных дробей (по основанию 2). Например, десятичная дробь

0.125

имеет значение 1/10 + 2/100 + 5/1000, и точно так же двоичная дробь

0.001

имеет значение 0/2 + 0/4 + 1/8. Эти две дроби имеют одинаковые значения, единственное различие в том, что первая записана в десятичной системе счисления, а вторая – в двоичной.

К сожалению, большинство десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных дробей. Следствием этого является то, что, вообще говоря, вводимые десятичные числа с плавающей запятой лишь приблизительно соответствуют двоичным числам с плавающей запятой, которые на самом деле хранятся в машине.

Проблему легче сначала понять в десятичной системе. Рассмотрим дробь 1/3. Её можно приблизить десятичной дробью:

0.3

или, лучше,

0.33

или, лучше,

0.333

и так далее. Сколько бы цифр вы ни захотели записать, результат никогда не будет точно равен 1/3, но будет всё лучшим приближением к 1/3.

Точно так же, сколько бы двоичных цифр вы ни захотели использовать, десятичное значение 0.1 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. В двоичной системе 1/10 – это бесконечно повторяющаяся дробь

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

Остановитесь на любом конечном числе битов – и получите приближение. На большинстве современных машин числа с плавающей запятой приближаются с помощью двоичной дроби, в числителе используются первые 53 бита, начиная со старшего значащего бита, а знаменатель – степень двойки. Для 1/10 двоичная дробь равна 3602879701896397 / 2 ** 55, что близко, но не в точности равно истинному значению 1/10.

Многие пользователи не подозревают о приближении из-за того, как отображаются значения. Python печатает лишь десятичное приближение к истинному десятичному значению того двоичного приближения, которое хранит машина. На большинстве машин, если бы Python печатал истинное десятичное значение двоичного приближения, хранящегося для 0.1, ему пришлось бы отобразить

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

Это больше цифр, чем обычно нужно, поэтому Python сохраняет число цифр управляемым, отображая вместо этого округлённое значение

>>> 1 / 10
0.1

Просто помните: хотя напечатанный результат выглядит как точное значение 1/10, на самом деле хранится ближайшая представимая двоичная дробь.

Интересно, что существует много разных десятичных чисел, которым соответствует одна и та же ближайшая аппроксимирующая двоичная дробь. Например, числа 0.1 и 0.10000000000000001 и 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 все аппроксимируются как 3602879701896397 / 2 ** 55. Поскольку все эти десятичные значения имеют одинаковое приближение, любое из них может быть отображено с сохранением инварианта eval(repr(x)) == x.

Исторически сложилось так, что приглашение Python и встроенная функция repr() выбирали число с 17 значащими цифрами, 0.10000000000000001. Начиная с Python 3.1, Python (на большинстве систем) теперь может выбирать кратчайшее из них и просто отображать 0.1.

Обратите внимание, что это в самой природе двоичной плавающей арифметики: это не ошибка в Python и не ошибка в вашем коде. То же самое вы увидите во всех языках, которые поддерживают арифметику с плавающей точкой вашего оборудования (хотя некоторые языки могут не показывать различие по умолчанию или во всех режимах вывода).

Встроенная функция str() в Python выводит только 12 значащих цифр, и вместо неё можно использовать её. Редко когда eval(str(x)) воспроизводит x, но вывод может выглядеть более приятным:

>>> str(math.pi)
'3.14159265359'

>>> repr(math.pi)
'3.141592653589793'

>>> format(math.pi, '.2f')
'3.14'

Важно понимать, что это, в определённом смысле, иллюзия: вы просто округляете отображение истинного машинного значения.

Одна иллюзия может породить другую. Например, поскольку 0.1 не равно в точности 1/10, суммирование трёх значений 0.1 может не дать в точности 0.3:

>>> .1 + .1 + .1 == .3
False

Кроме того, так как 0.1 не может быть ближе к точному значению 1/10, а 0.3 не может быть ближе к точному значению 3/10, то предварительное округление с помощью функции round() не помогает:

>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
False

Хотя числа невозможно сделать ближе к их точным значениям, функция round() может быть полезна для последующего округления, чтобы результаты с неточными значениями стали сравнимы друг с другом:

>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
True

Двоичная арифметика с плавающей запятой таит в себе множество подобных сюрпризов. Проблема с «0.1» подробно объясняется ниже, в разделе «Ошибка представления». См. Опасности чисел с плавающей запятой для более полного описания других распространённых сюрпризов.

Как сказано там ближе к концу, «лёгких ответов нет». Тем не менее не стоит чрезмерно опасаться плавающей точки! Ошибки в операциях с float в Python наследуются от оборудования для плавающей арифметики, и на большинстве машин они составляют не более 1 части на 2**53 на операцию. Этого более чем достаточно для большинства задач, но нужно помнить, что это не десятичная арифметика и что каждая операция с float может внести новую ошибку округления.

Хотя патологические случаи существуют, при обычном использовании арифметики с плавающей запятой в конечном итоге вы увидите ожидаемый результат, если просто округлить отображение окончательных результатов до нужного количества десятичных знаков. str() обычно достаточно, а для более точного управления смотрите str.format() спецификаторы формата метода в Синтаксис строк форматирования.

Для случаев, требующих точного десятичного представления, попробуйте использовать модуль decimal, который реализует десятичную арифметику, подходящую для бухгалтерских приложений и приложений с высокой точностью.

Другой вид точной арифметики поддерживается модулем fractions, который реализует арифметику на основе рациональных чисел (так что числа вроде 1/3 могут быть представлены точно).

Если вы активно используете операции с плавающей запятой, вам стоит взглянуть на пакет Numerical Python и многие другие пакеты для математических и статистических операций, предоставляемые проектом SciPy. См. <http://scipy.org>.

Python предоставляет инструменты, которые могут помочь в тех редких случаях, когда вы действительно хотите узнать точное значение числа с плавающей запятой. Метод float.as_integer_ratio() выражает значение числа с плавающей запятой в виде дроби:

>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719, 1125899906842624)

Поскольку отношение точное, его можно использовать для восстановления исходного значения без потерь:

>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True

Метод float.hex() выражает число с плавающей запятой в шестнадцатеричном формате (основание 16), снова предоставляя точное значение, хранящееся на вашем компьютере:

>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'

Это точное шестнадцатеричное представление можно использовать для точного восстановления значения числа с плавающей запятой:

>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True

Поскольку представление точное, оно полезно для надёжного переноса значений между разными версиями Python (независимость от платформы) и обмена данными с другими языками, поддерживающими тот же формат (например, Java и C99).

Ещё один полезный инструмент – функция math.fsum(), которая помогает смягчить потерю точности при суммировании. Она отслеживает «потерянные цифры» по мере добавления значений к накапливаемой сумме. Это может существенно повлиять на общую точность, чтобы ошибки не накапливались до такой степени, что влияют на конечный итог:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True

1 / 10 ~= J / (2**N)

J ~= 2**N / 10

>>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
True

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

>>> q+1
7205759403792794

7205759403792794 / 2 ** 56

3602879701896397 / 2 ** 55

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'

>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction

>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'