9.3. cmath – Математические функции для комплексных чисел¶cmath – Mathematical functions for complex numbers

9.3.1. Преобразования в полярные координаты и обратно¶Conversions to and from polar coordinates

Комплексное число Python z хранится внутри в прямоугольных или декартовых координатах. Оно полностью определяется своей действительной частью z.real и своей мнимой частью z.imag. Иными словами:

z == z.real + z.imag*1j

Полярные координаты дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число z определяется модулем r и фазовым углом phi. Модуль r – это расстояние от z до начала координат, а фаза phi – это угол, измеряемый в радианах против часовой стрелки от положительной оси x до отрезка, соединяющего начало координат с z.

Следующие функции можно использовать для преобразования из исходных прямоугольных координат в полярные и обратно.

cmath.phase(x)¶

Возвращает фазу x (также известную как аргумент x) в виде числа с плавающей запятой. phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат лежит в диапазоне [-π, π], а разрез ветвей для этой операции проходит вдоль отрицательной действительной оси, непрерывно сверху. В системах с поддержкой знакового нуля (к которым относится большинство современных систем) это означает, что знак результата совпадает со знаком x.imag, даже если x.imag равен нулю:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

cmath.polar(x)¶

Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару (r, phi), где r – модуль x, а phi – фаза x. polar(x) эквивалентно (abs(x), phase(x)).

cmath.rect(r, phi)¶

Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j).

9.3.2. Степенные и логарифмические функции¶Power and logarithmic functions

cmath.exp(x)¶

Возвращает экспоненциальное значение e**x.

cmath.log(x[, base])¶

Возвращает логарифм x по заданному основанию. Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм x. Имеется один разрез ветви: от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.log10(x)¶

Возвращает десятичный логарифм x. Имеет тот же разрез ветвей, что и log().

cmath.sqrt(x)¶

Возвращает квадратный корень x. Имеет тот же разрез ветвей, что и log().

9.3.3. Тригонометрические функции¶Trigonometric functions

cmath.acos(x)¶

Возвращает арккосинус x. Имеются два разреза ветвей: один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asin(x)¶

Возвращает арксинус x. Имеет те же разрезы ветвей, что и acos().

cmath.atan(x)¶

Возвращает арктангенс x. Есть два разреза ветвей: один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывно справа. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывно слева.

cmath.cos(x)¶

Возвращает косинус x.

cmath.sin(x)¶

Возвращает синус x.

cmath.tan(x)¶

Возвращает тангенс x.

9.3.4. Гиперболические функции¶Hyperbolic functions

cmath.acosh(x)¶

Возвращает гиперболический арккосинус x. Имеется один разрез ветвей, идущий влево\nот 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asinh(x)¶

Возвращает гиперболический арксинус x. Имеется два разреза ветвей:\nОдин простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j,\nнепрерывный справа. Другой простирается от -1j вдоль\nмнимой оси до -∞j, непрерывный слева.

cmath.atanh(x)¶

Возвращает гиперболический арктангенс x. Имеется два разреза ветвей: Один\nпростирается от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой\nпростирается от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный\nсверху.

cmath.cosh(x)¶

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.sinh(x)¶

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.tanh(x)¶

Возвращает гиперболический тангенс x.

9.3.5. Функции классификации¶Classification functions

cmath.isinf(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x положительна или отрицательная бесконечность.

cmath.isnan(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x не является числом (NaN).

9.3.6. Константы¶Constants

cmath.pi¶

Математическая константа π, в виде числа с плавающей запятой.

cmath.e¶

Математическая константа e, в виде числа с плавающей запятой.

Обратите внимание: набор функций похож, но не идентичен набору из модуля math. Причина существования двух модулей в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами и, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочли бы, чтобы math.sqrt(-1) вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также обратите внимание: функции, определённые в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ можно выразить действительным числом (в этом случае комплексное число имеет нулевую мнимую часть).

Примечание о разрезах ветвей: это кривые, вдоль которых данная функция перестаёт быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять комплексные функции, вы разбираетесь в разрезах ветвей. Для понимания обратитесь к любой (не слишком элементарной) книге по комплексному анализу. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных расчётов хорошим справочником может служить следующее издание: