cmath.md

1> **Источник:** https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html2>3> «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor.45---67# [`cmath`](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html#module-cmath) – математические функции для комплексных чисел89---1011Этот модуль предоставляет доступ к математическим функциям для комплексных чисел. Функции в этом модуле принимают в качестве аргументов целые числа, числа с плавающей запятой или комплексные числа. Они также принимают любой объект Python, у которого есть метод [`__complex__()`](https://python-all.ru/3.7/reference/datamodel.html#object.__complex__) или [`__float__()`](https://python-all.ru/3.7/reference/datamodel.html#object.__float__): эти методы используются для преобразования объекта в комплексное число или число с плавающей запятой соответственно, после чего функция применяется к результату преобразования.1213> **Примечание**14>15> На платформах с аппаратной и системной поддержкой знакового нуля функции, использующие разрезы ветвей, непрерывны по *обе* стороны разреза: знак нуля отличает одну сторону от другой. На платформах без поддержки знакового нуля непрерывность описывается ниже.1617## Преобразования в полярные координаты и обратно1819Комплексное число Python `z` хранится внутри в *прямоугольных* или *декартовых* координатах. Оно полностью определяется своей *действительной частью* `z.real` и своей *мнимой частью* `z.imag`. Иными словами:2021```python22z == z.real + z.imag*1j23```2425*Полярные координаты* дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число *z* определяется модулем *r* и фазовым углом *phi*. Модуль *r* – это расстояние от *z* до начала координат, а фаза *phi* – это угол, измеряемый в радианах против часовой стрелки от положительной оси x до отрезка, соединяющего начало координат с *z*.2627Следующие функции можно использовать для преобразования из исходных прямоугольных координат в полярные и обратно.2829#### `cmath.phase(x)`3031Возвращает фазу *x* (также известную как *аргумент* *x*) в виде числа с плавающей запятой. `phase(x)` эквивалентно `math.atan2(x.imag, x.real)`. Результат лежит в диапазоне \[-*π*, *π*\], а разрез ветви для этой операции проходит вдоль отрицательной вещественной оси, непрерывный сверху. В системах с поддержкой знакового нуля (к которым относится большинство современных систем) это означает, что знак результата совпадает со знаком `x.imag`, даже если `x.imag` равен нулю:3233```python34>>> phase(complex(-1.0, 0.0))353.14159265358979336>>> phase(complex(-1.0, -0.0))37-3.14159265358979338```3940> **Примечание**41>42> Модуль (абсолютное значение) комплексного числа *x* можно вычислить с помощью встроенной функции [`abs()`](https://python-all.ru/3.7/library/functions.html#abs). Отдельной функции модуля [`cmath`](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html#module-cmath) для этой операции нет.4344#### `cmath.polar(x)`4546Возвращает представление *x* в полярных координатах. Возвращает пару `(r, phi)`, где *r* – модуль *x*, а phi – фаза *x*. `polar(x)` эквивалентно `(abs(x), phase(x))`.4748#### `cmath.rect(r, phi)`4950Возвращает комплексное число *x* с полярными координатами *r* и *phi*. Эквивалентно `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`.5152## Степенные и логарифмические функции5354#### `cmath.exp(x)`5556Возвращает *e*, возведённое в степень *x*, где *e* – основание натурального логарифма.5758#### `cmath.log(x[, base])`5960Возвращает логарифм *x* по заданному *основанию*. Если *основание* не указано, возвращает натуральный логарифм *x*. Имеется один разрез ветви: от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.6162#### `cmath.log10(x)`6364Возвращает десятичный логарифм *x*. Имеет тот же разрез ветви, что [`log()`](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html#cmath.log).6566#### `cmath.sqrt(x)`6768Возвращает квадратный корень *x*. Имеет тот же разрез ветви, что и [`log()`](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html#cmath.log).6970## Тригонометрические функции7172#### `cmath.acos(x)`7374Возвращает арккосинус *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.7576#### `cmath.asin(x)`7778Return the arc sine of *x*. This has the same branch cuts as [`acos()`](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html#cmath.acos).7980#### `cmath.atan(x)`8182Возвращает арктангенс *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1j` вдоль мнимой оси до `∞j`, непрерывный справа. Другой простирается от `-1j` вдоль мнимой оси до `-∞j`, непрерывный слева.8384#### `cmath.cos(x)`8586Возвращает косинус *x*.8788#### `cmath.sin(x)`8990Возвращает синус *x*.9192#### `cmath.tan(x)`9394Возвращает тангенс *x*.9596## Гиперболические функции9798#### `cmath.acosh(x)`99100Возвращает обратный гиперболический косинус *x*. Имеется один разрез ветви, простирающийся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.101102#### `cmath.asinh(x)`103104Возвращает обратный гиперболический синус *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1j` вдоль мнимой оси до `∞j`, непрерывный справа. Другой простирается от `-1j` вдоль мнимой оси до `-∞j`, непрерывный слева.105106#### `cmath.atanh(x)`107108Возвращает обратный гиперболический тангенс *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1` вдоль вещественной оси до `∞`, непрерывный снизу. Другой простирается от `-1` вдоль вещественной оси до `-∞`, непрерывный сверху.109110#### `cmath.cosh(x)`111112Возвращает гиперболический косинус *x*.113114#### `cmath.sinh(x)`115116Возвращает гиперболический синус *x*.117118#### `cmath.tanh(x)`119120Возвращает гиперболический тангенс *x*.121122## Функции классификации123124#### `cmath.isfinite(x)`125126Возвращает `True`, если и вещественная, и мнимая части *x* конечны, и `False` в противном случае.127128Новое в версии 3.2.129130#### `cmath.isinf(x)`131132Возвращает `True`, если хотя бы одна из частей *x* (вещественная или мнимая) является бесконечностью, и `False` в противном случае.133134#### `cmath.isnan(x)`135136Возвращает `True`, если хотя бы одна из частей *x* (вещественная или мнимая) является NaN, и `False` в противном случае.137138#### `cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)`139140Возвращает `True`, если значения *a* и *b* близки друг к другу, и `False` иначе.141142Близость двух значений определяется заданными абсолютной и относительной допустимыми погрешностями.143144*rel\_tol* – это относительная допустимая погрешность: максимально допустимая разница между *a* и *b*, взятая относительно большего абсолютного значения *a* или *b*. Например, чтобы установить погрешность 5%, передайте `rel_tol=0.05`. По умолчанию погрешность равна `1e-09`, что гарантирует совпадение двух значений с точностью примерно до 9 десятичных знаков. *rel\_tol* должен быть больше нуля.145146*abs\_tol* – это минимальная абсолютная допустимая погрешность, полезная для сравнений вблизи нуля. *abs\_tol* должен быть не меньше нуля.147148Если ошибок не возникло, результатом будет: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`.149150Особые значения IEEE 754: `NaN`, `inf` и `-inf` обрабатываются согласно правилам IEEE. В частности, `NaN` не считается близким ни к какому другому значению, включая `NaN`. `inf` и `-inf` считаются близкими только сами к себе.151152Новое в версии 3.5.153154> **См. также**155>156> [**PEP 485**](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html) – Функция для проверки приблизительного равенства157158## Константы159160#### `cmath.pi`161162Математическая константа *π*, в виде числа с плавающей запятой.163164#### `cmath.e`165166Математическая константа *e*, в виде числа с плавающей запятой.167168#### `cmath.tau`169170Математическая константа *τ*, в виде числа с плавающей запятой.171172Новое в версии 3.6.173174#### `cmath.inf`175176Положительная бесконечность с плавающей запятой. Эквивалентна `float('inf')`.177178Новое в версии 3.6.179180#### `cmath.infj`181182Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечной мнимой частью. Эквивалентно `complex(0.0, float('inf'))`.183184Новое в версии 3.6.185186#### `cmath.nan`187188Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно `float('nan')`.189190Новое в версии 3.6.191192#### `cmath.nanj`193194Комплексное число с нулевой действительной частью и NaN в мнимой части. Эквивалентно `complex(0.0, float('nan'))`.195196Новое в версии 3.6.197198Обратите внимание, что набор функций похож на набор из модуля [`math`](https://python-all.ru/3.7/library/math.html#module-math), но не идентичен ему. Причина наличия двух модулей в том, что некоторым пользователям неинтересны комплексные числа, и они, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочли бы, чтобы `math.sqrt(-1)` вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также следует отметить, что функции, определённые в [`cmath`](https://python-all.ru/3.7/library/cmath.html#module-cmath), всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен вещественным числом (в этом случае комплексное число имеет нулевую мнимую часть).199200Примечание о разрезах ветвей: это кривые, вдоль которых данная функция перестаёт быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять комплексные функции, вы разбираетесь в разрезах ветвей. Для понимания обратитесь к любой (не слишком элементарной) книге по комплексному анализу. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных расчётов хорошим справочником может служить следующее издание:201202> **См. также**203>204> Kahan, W: Ветви разрезов для комплексных элементарных функций; или Много шума из-за знакового бита. В Iserles, A., и Powell, M. (ред.), Современное состояние численного анализа. Clarendon Press (1987) стр. 165–211.205