floatingpoint.md

1> **Источник:** https://python-all.ru/3.3/tutorial/floatingpoint.html2>3> «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor.45---67# 14. Арифметика с плавающей запятой: проблемы и ограничения89Числа с плавающей запятой представляются в компьютерном оборудовании в виде двоичных дробей (по основанию 2). Например, десятичная дробь1011```python120.12513```1415имеет значение 1/10 + 2/100 + 5/1000, и точно так же двоичная дробь1617```python180.00119```2021имеет значение 0/2 + 0/4 + 1/8. Эти две дроби имеют одинаковые значения, единственное различие в том, что первая записана в десятичной системе счисления, а вторая – в двоичной.2223К сожалению, большинство десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных дробей. Следствием этого является то, что, вообще говоря, вводимые десятичные числа с плавающей запятой лишь приблизительно соответствуют двоичным числам с плавающей запятой, которые на самом деле хранятся в машине.2425Проблему легче сначала понять в десятичной системе. Рассмотрим дробь 1/3. Её можно приблизить десятичной дробью:2627```python280.329```3031или, лучше,3233```python340.3335```3637или, лучше,3839```python400.33341```4243и так далее. Сколько бы цифр вы ни захотели записать, результат никогда не будет точно равен 1/3, но будет всё лучшим приближением к 1/3.4445Точно так же, сколько бы двоичных цифр вы ни захотели использовать, десятичное значение 0.1 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. В двоичной системе 1/10 – это бесконечно повторяющаяся дробь4647```python480.0001100110011001100110011001100110011001100110011...49```5051Остановитесь на любом конечном числе битов – и получите приближение. На большинстве современных машин числа с плавающей запятой приближаются с помощью двоичной дроби, в числителе используются первые 53 бита, начиная со старшего значащего бита, а знаменатель – степень двойки. Для 1/10 двоичная дробь равна `3602879701896397 / 2 ** 55`, что близко, но не в точности равно истинному значению 1/10.5253Многие пользователи не подозревают о приближении из-за того, как отображаются значения. Python печатает лишь десятичное приближение к истинному десятичному значению того двоичного приближения, которое хранит машина. На большинстве машин, если бы Python печатал истинное десятичное значение двоичного приближения, хранящегося для 0.1, ему пришлось бы отобразить5455```python56>>> 0.1570.100000000000000005551115123125782702118158340454101562558```5960Это больше цифр, чем обычно нужно, поэтому Python сохраняет число цифр управляемым, отображая вместо этого округлённое значение6162```python63>>> 1 / 10640.165```6667Просто помните: хотя напечатанный результат выглядит как точное значение 1/10, на самом деле хранится ближайшая представимая двоичная дробь.6869Интересно, что существует много разных десятичных чисел, которым соответствует одна и та же ближайшая аппроксимирующая двоичная дробь. Например, числа `0.1` и `0.10000000000000001` и `0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625` все аппроксимируются как `3602879701896397 / 2 ** 55`. Поскольку все эти десятичные значения имеют одинаковое приближение, любое из них может быть отображено с сохранением инварианта `eval(repr(x)) == x`.7071Исторически сложилось так, что приглашение Python и встроенная функция [`repr()`](https://python-all.ru/3.3/library/functions.html#repr) выбирали число с 17 значащими цифрами, `0.10000000000000001`. Начиная с Python 3.1, Python (на большинстве систем) теперь может выбирать кратчайшее из них и просто отображать `0.1`.7273Обратите внимание, что это в самой природе двоичной плавающей арифметики: это не ошибка в Python и не ошибка в вашем коде. То же самое вы увидите во всех языках, которые поддерживают арифметику с плавающей точкой вашего оборудования (хотя некоторые языки могут не *показывать* различие по умолчанию или во всех режимах вывода).7475Для более приятного вывода можно использовать форматирование строк, чтобы получить ограниченное количество значащих цифр:7677```python78>>> format(math.pi, '.12g')  # дать 12 значащих цифр79'3.14159265359'8081>>> format(math.pi, '.2f')   # дать 2 цифры после запятой82'3.14'8384>>> repr(math.pi)85'3.141592653589793'86```8788Важно понимать, что это, в определённом смысле, иллюзия: вы просто округляете *отображение* истинного машинного значения.8990Одна иллюзия может породить другую. Например, поскольку 0.1 не равно в точности 1/10, суммирование трёх значений 0.1 может не дать в точности 0.3:9192```python93>>> .1 + .1 + .1 == .394False95```9697Кроме того, так как 0.1 не может быть ближе к точному значению 1/10, а 0.3 не может быть ближе к точному значению 3/10, то предварительное округление с помощью функции [`round()`](https://python-all.ru/3.3/library/functions.html#round) не помогает:9899```python100>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)101False102```103104Хотя числа невозможно сделать ближе к их точным значениям, функция [`round()`](https://python-all.ru/3.3/library/functions.html#round) может быть полезна для последующего округления, чтобы результаты с неточными значениями стали сравнимы друг с другом:105106```python107>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)108True109```110111Двоичная арифметика с плавающей запятой таит в себе множество подобных сюрпризов. Проблема с «0.1» подробно объясняется ниже, в разделе «Ошибка представления». См. [Опасности чисел с плавающей запятой](https://python-all.ru/3.3/tutorial/floatingpoint.html) для более полного описания других распространённых сюрпризов.112113Как сказано там ближе к концу, «лёгких ответов нет». Тем не менее не стоит чрезмерно опасаться плавающей точки! Ошибки в операциях с float в Python наследуются от оборудования для плавающей арифметики, и на большинстве машин они составляют не более 1 части на 2\*\*53 на операцию. Этого более чем достаточно для большинства задач, но нужно помнить, что это не десятичная арифметика и что каждая операция с float может внести новую ошибку округления.114115Хотя патологические случаи существуют, при обычном использовании арифметики с плавающей запятой в конечном итоге вы увидите ожидаемый результат, если просто округлить отображение окончательных результатов до нужного количества десятичных знаков. [`str()`](https://python-all.ru/3.3/library/stdtypes.html#str) обычно достаточно, а для более точного управления смотрите [`str.format()`](https://python-all.ru/3.3/library/stdtypes.html#str.format) спецификаторы формата метода в [*Синтаксис строк форматирования*](https://python-all.ru/3.3/library/string.html#formatstrings).116117Для случаев, требующих точного десятичного представления, попробуйте использовать модуль [`decimal`](https://python-all.ru/3.3/library/decimal.html#module-decimal), который реализует десятичную арифметику, подходящую для бухгалтерских приложений и приложений с высокой точностью.118119Другой вид точной арифметики поддерживается модулем [`fractions`](https://python-all.ru/3.3/library/fractions.html#module-fractions), который реализует арифметику на основе рациональных чисел (так что числа вроде 1/3 могут быть представлены точно).120121Если вы активно используете операции с плавающей запятой, вам стоит взглянуть на пакет Numerical Python и многие другие пакеты для математических и статистических операций, предоставляемые проектом SciPy. См. \<[http://scipy.org](https://python-all.ru/3.3/tutorial/floatingpoint.html)\>.122123Python предоставляет инструменты, которые могут помочь в тех редких случаях, когда вы действительно *хотите* узнать точное значение числа с плавающей запятой. Метод [`float.as_integer_ratio()`](https://python-all.ru/3.3/library/stdtypes.html#float.as_integer_ratio) выражает значение числа с плавающей запятой в виде дроби:124125```python126>>> x = 3.14159127>>> x.as_integer_ratio()128(3537115888337719, 1125899906842624)129```130131Поскольку отношение точное, его можно использовать для восстановления исходного значения без потерь:132133```python134>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624135True136```137138Метод [`float.hex()`](https://python-all.ru/3.3/library/stdtypes.html#float.hex) выражает число с плавающей запятой в шестнадцатеричном формате (основание 16), снова предоставляя точное значение, хранящееся на вашем компьютере:139140```python141>>> x.hex()142'0x1.921f9f01b866ep+1'143```144145Это точное шестнадцатеричное представление можно использовать для точного восстановления значения числа с плавающей запятой:146147```python148>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')149True150```151152Поскольку представление точное, оно полезно для надёжного переноса значений между разными версиями Python (независимость от платформы) и обмена данными с другими языками, поддерживающими тот же формат (например, Java и C99).153154Ещё один полезный инструмент – функция [`math.fsum()`](https://python-all.ru/3.3/library/math.html#math.fsum), которая помогает смягчить потерю точности при суммировании. Она отслеживает «потерянные цифры» по мере добавления значений к накапливаемой сумме. Это может существенно повлиять на общую точность, чтобы ошибки не накапливались до такой степени, что влияют на конечный итог:155156```python157>>> sum([0.1] * 10) == 1.0158False159>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0160True161```162163## 14.1. Ошибка представления164165В этом разделе подробно объясняется пример «0.1» и показывается, как можно самостоятельно выполнить точный анализ подобных случаев. Предполагается базовое знакомство с двоичным представлением чисел с плавающей запятой.166167*Ошибка представления* относится к тому факту, что некоторые (на самом деле большинство) десятичные дроби не могут быть точно представлены в виде двоичных (с основанием 2) дробей. Это главная причина, по которой Python (или Perl, C, C++, Java, Fortran и многие другие) часто не отображает точное десятичное число, как ожидается.168169Почему так? 1/10 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. Почти все современные машины (ноябрь 2000 года) используют арифметику с плавающей запятой IEEE-754, и почти все платформы отображают числа с плавающей запятой Python на «двойную точность» IEEE-754. Числа двойной точности 754 содержат 53 бита точности, поэтому при вводе компьютер стремится преобразовать 0.1 в ближайшую возможную дробь вида *J*/2\*\**N*, где *J* – целое число, содержащее ровно 53 бита. Переписывая170171```python1721 / 10 ~= J / (2**N)173```174175как176177```python178J ~= 2**N / 10179```180181и вспоминая, что *J* имеет ровно 53 бита (`>= 2**52`, но `< 2**53`), наилучшим значением для *N* является 56:182183```python184>>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53185True186```187188То есть 56 – единственное значение для *N*, которое оставляет *J* с ровно 53 битами. Наилучшее возможное значение для *J* тогда – это округлённое частное:189190```python191>>> q, r = divmod(2**56, 10)192>>> r1936194```195196Поскольку остаток больше половины 10, наилучшее приближение получается округлением вверх:197198```python199>>> q+12007205759403792794201```202203Следовательно, наилучшее возможное приближение к 1/10 в двойной точности 754 – это:204205```python2067205759403792794 / 2 ** 56207```208209Деление числителя и знаменателя на два даёт дробь:210211```python2123602879701896397 / 2 ** 55213```214215Обратите внимание, что, поскольку мы округлили вверх, это значение на самом деле немного больше 1/10; если бы мы не округлили вверх, частное было бы немного меньше 1/10. Но в любом случае оно не может быть *точно* 1/10!216217Таким образом, компьютер никогда не «видит» 1/10: он видит точную дробь, приведённую выше, – наилучшее приближение двойной точности 754, которое он может получить:218219```python220>>> 0.1 * 2 ** 552213602879701896397.0222```223224Если умножить эту дробь на 10\*\*55, мы увидим значение с точностью до 55 десятичных знаков:225226```python227>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 552281000000000000000055511151231257827021181583404541015625229```230231что означает, что точное число, хранящееся в компьютере, равно десятичному значению 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Вместо отображения полного десятичного значения многие языки (включая старые версии Python) округляют результат до 17 значащих цифр:232233```python234>>> format(0.1, '.17f')235'0.10000000000000001'236```237238Модули [`fractions`](https://python-all.ru/3.3/library/fractions.html#module-fractions) и [`decimal`](https://python-all.ru/3.3/library/decimal.html#module-decimal) упрощают эти вычисления:239240```python241>>> from decimal import Decimal242>>> from fractions import Fraction243244>>> Fraction.from_float(0.1)245Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)246247>>> (0.1).as_integer_ratio()248(3602879701896397, 36028797018963968)249250>>> Decimal.from_float(0.1)251Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')252253>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')254'0.10000000000000001'255```256