floatingpoint.md

1> **Источник:** https://python-all.ru/3.11/tutorial/floatingpoint.html2>3> «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor.45---67# 15. Арифметика с плавающей точкой: проблемы и ограничения89Числа с плавающей точкой представляются в компьютерном оборудовании как дроби по основанию 2 (двоичные). Например, **десятичная** дробь `0.125` имеет значение 1/10 + 2/100 + 5/1000, а **двоичная** дробь `0.001` – значение 0/2 + 0/4 + 1/8. Значения этих двух дробей одинаковы, единственное реальное различие в том, что первая записана в десятичной системе счисления, а вторая – в двоичной.1011К сожалению, большинство десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных дробей. Следствием этого является то, что, вообще говоря, вводимые десятичные числа с плавающей запятой лишь приблизительно соответствуют двоичным числам с плавающей запятой, которые на самом деле хранятся в машине.1213Проблему легче сначала понять в десятичной системе. Рассмотрим дробь 1/3. Её можно приблизить десятичной дробью:1415```python160.317```1819или, лучше,2021```python220.3323```2425или, лучше,2627```python280.33329```3031и так далее. Сколько бы цифр вы ни захотели записать, результат никогда не будет точно равен 1/3, но будет всё лучшим приближением к 1/3.3233Точно так же, сколько бы двоичных цифр вы ни захотели использовать, десятичное значение 0.1 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. В двоичной системе 1/10 – это бесконечно повторяющаяся дробь3435```python360.0001100110011001100110011001100110011001100110011...37```3839Остановитесь на любом конечном числе битов – и получите приближение. На большинстве современных машин числа с плавающей запятой приближаются с помощью двоичной дроби, в числителе используются первые 53 бита, начиная со старшего значащего бита, а знаменатель – степень двойки. Для 1/10 двоичная дробь равна `3602879701896397 / 2 ** 55`, что близко, но не в точности равно истинному значению 1/10.4041Многие пользователи не подозревают о приближении из-за того, как отображаются значения. Python печатает лишь десятичное приближение к истинному десятичному значению того двоичного приближения, которое хранит машина. На большинстве машин, если бы Python печатал истинное десятичное значение двоичного приближения, хранящегося для 0.1, ему пришлось бы отобразить4243```python44>>> 0.1450.100000000000000005551115123125782702118158340454101562546```4748Это больше цифр, чем обычно нужно, поэтому Python сохраняет число цифр управляемым, отображая вместо этого округлённое значение4950```python51>>> 1 / 10520.153```5455Просто помните: хотя напечатанный результат выглядит как точное значение 1/10, на самом деле хранится ближайшая представимая двоичная дробь.5657Интересно, что существует множество различных десятичных чисел, имеющих одно и то же ближайшее приближение в виде двоичной дроби. Например, числа `0.1`, `0.10000000000000001` и `0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625` все приближаются `3602879701896397 / 2 ** 55`. Поскольку все эти десятичные значения имеют одинаковое приближение, любое из них может быть отображено с сохранением инварианта `eval(repr(x)) == x`.5859Исторически сложилось так, что приглашение Python и встроенная функция [`repr()`](https://python-all.ru/3.11/library/functions.html#repr) выбирали значение с 17 значащими цифрами, `0.10000000000000001`. Начиная с Python 3.1, Python (на большинстве систем) теперь способен выбирать самое короткое из них и просто отображать `0.1`.6061Обратите внимание, что это в самой природе двоичной плавающей арифметики: это не ошибка в Python и не ошибка в вашем коде. То же самое вы увидите во всех языках, которые поддерживают арифметику с плавающей точкой вашего оборудования (хотя некоторые языки могут не *показывать* различие по умолчанию или во всех режимах вывода).6263Для более приятного вывода можно использовать форматирование строк, чтобы получить ограниченное количество значащих цифр:6465```python66>>> format(math.pi, '.12g')  # дать 12 значащих цифр67'3.14159265359'6869>>> format(math.pi, '.2f')   # дать 2 цифры после запятой70'3.14'7172>>> repr(math.pi)73'3.141592653589793'74```7576Важно понимать, что это, в определённом смысле, иллюзия: вы просто округляете *отображение* истинного машинного значения.7778Одна иллюзия может породить другую. Например, поскольку 0.1 не равно в точности 1/10, суммирование трёх значений 0.1 может не дать в точности 0.3:7980```python81>>> .1 + .1 + .1 == .382False83```8485Кроме того, поскольку 0.1 не может быть ближе к точному значению 1/10, а 0.3 не может быть ближе к точному значению 3/10, то предварительное округление с помощью функции [`round()`](https://python-all.ru/3.11/library/functions.html#round) не поможет:8687```python88>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)89False90```9192Хотя числа нельзя сделать ближе к их точным значениям, функция [`round()`](https://python-all.ru/3.11/library/functions.html#round) может быть полезна для последующего округления, чтобы результаты с неточными значениями стали сравнимы друг с другом:9394```python95>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)96True97```9899Двоичная арифметика с плавающей точкой таит много подобных сюрпризов. Проблема с «0.1» подробно объясняется ниже, в разделе «Ошибка представления». Смотрите [Примеры проблем с плавающей точкой](https://python-all.ru/3.11/tutorial/floatingpoint.html) для приятного обзора того, как работает двоичная плавающая арифметика и какие проблемы обычно встречаются на практике. Также смотрите [Опасности плавающей точки](https://python-all.ru/3.11/tutorial/floatingpoint.html) для более полного описания других распространённых сюрпризов.100101Как сказано там ближе к концу, «лёгких ответов нет». Тем не менее не стоит чрезмерно опасаться плавающей точки! Ошибки в операциях с float в Python наследуются от оборудования для плавающей арифметики, и на большинстве машин они составляют не более 1 части на 2\*\*53 на операцию. Этого более чем достаточно для большинства задач, но нужно помнить, что это не десятичная арифметика и что каждая операция с float может внести новую ошибку округления.102103Хотя патологические случаи существуют, при обычном использовании арифметики с плавающей запятой достаточно просто округлить отображение конечных результатов до нужного количества десятичных знаков – и результат будет ожидаемым. [`str()`](https://python-all.ru/3.11/library/stdtypes.html#str) обычно достаточно, а для более тонкого управления следует обратиться к спецификаторам формата метода [`str.format()`](https://python-all.ru/3.11/library/stdtypes.html#str.format) в [синтаксисе форматных строк](https://python-all.ru/3.11/library/string.html#formatstrings).104105Для случаев, требующих точного десятичного представления, попробуйте использовать модуль [`decimal`](https://python-all.ru/3.11/library/decimal.html#module-decimal), который реализует десятичную арифметику, подходящую для бухгалтерских приложений и приложений с высокой точностью.106107Другая форма точной арифметики поддерживается модулем [`fractions`](https://python-all.ru/3.11/library/fractions.html#module-fractions), который реализует арифметику на основе рациональных чисел (так что такие числа, как 1/3, могут быть представлены точно).108109Если вы интенсивно используете операции с плавающей запятой, стоит взглянуть на пакет NumPy и многие другие пакеты для математических и статистических операций, предоставляемые проектом SciPy. Смотрите \<[https://scipy.org](https://python-all.ru/3.11/tutorial/floatingpoint.html)\>.110111Python предоставляет инструменты, которые могут помочь в тех редких случаях, когда *действительно* нужно узнать точное значение числа с плавающей запятой. Метод [`float.as_integer_ratio()`](https://python-all.ru/3.11/library/stdtypes.html#float.as_integer_ratio) представляет значение числа с плавающей запятой в виде дроби:112113```python114>>> x = 3.14159115>>> x.as_integer_ratio()116(3537115888337719, 1125899906842624)117```118119Поскольку отношение точное, его можно использовать для восстановления исходного значения без потерь:120121```python122>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624123True124```125126Метод [`float.hex()`](https://python-all.ru/3.11/library/stdtypes.html#float.hex) представляет число с плавающей запятой в шестнадцатеричном виде (с основанием 16), снова выдавая точное значение, хранящееся в компьютере:127128```python129>>> x.hex()130'0x1.921f9f01b866ep+1'131```132133Это точное шестнадцатеричное представление можно использовать для точного восстановления значения числа с плавающей запятой:134135```python136>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')137True138```139140Поскольку представление точное, оно полезно для надёжного переноса значений между разными версиями Python (независимость от платформы) и обмена данными с другими языками, поддерживающими тот же формат (например, Java и C99).141142Ещё один полезный инструмент – функция [`math.fsum()`](https://python-all.ru/3.11/library/math.html#math.fsum), которая помогает уменьшить потерю точности при суммировании. Она отслеживает «потерянные цифры» по мере добавления значений к накапливаемой сумме. Это может улучшить общую точность, чтобы ошибки не накапливались до такой степени, что влияют на итоговый результат:143144```python145>>> sum([0.1] * 10) == 1.0146False147>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0148True149```150151## 15.1. Ошибка представления152153В этом разделе подробно объясняется пример «0.1» и показывается, как можно самостоятельно выполнить точный анализ подобных случаев. Предполагается базовое знакомство с двоичным представлением чисел с плавающей запятой.154155*Ошибка представления* относится к тому факту, что некоторые (на самом деле большинство) десятичные дроби не могут быть точно представлены в виде двоичных (с основанием 2) дробей. Это главная причина, по которой Python (или Perl, C, C++, Java, Fortran и многие другие) часто не отображает точное десятичное число, как ожидается.156157Почему так? 1/10 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. Начиная как минимум с 2000 года, почти все машины используют двоичную арифметику с плавающей запятой IEEE 754, и почти все платформы отображают числа с плавающей запятой Python на двоичные значения двойной точности IEEE 754 binary64. Значения binary64 содержат 53 бита точности, поэтому при вводе компьютер стремится преобразовать 0.1 в ближайшую возможную дробь вида *J*/2\*\**N*, где *J* – целое число, содержащее ровно 53 бита. Переписывая158159```python1601 / 10 ~= J / (2**N)161```162163как164165```python166J ~= 2**N / 10167```168169и вспоминая, что *J* имеет ровно 53 бита (`>= 2**52`, но `< 2**53`), наилучшим значением для *N* является 56:170171```python172>>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53173True174```175176То есть 56 – единственное значение для *N*, которое оставляет *J* с ровно 53 битами. Наилучшее возможное значение для *J* тогда – это округлённое частное:177178```python179>>> q, r = divmod(2**56, 10)180>>> r1816182```183184Поскольку остаток больше половины 10, наилучшее приближение получается округлением вверх:185186```python187>>> q+11887205759403792794189```190191Следовательно, наилучшее возможное приближение к 1/10 в двойной точности IEEE 754:192193```python1947205759403792794 / 2 ** 56195```196197Деление числителя и знаменателя на два даёт дробь:198199```python2003602879701896397 / 2 ** 55201```202203Обратите внимание, что, поскольку мы округлили вверх, это значение на самом деле немного больше 1/10; если бы мы не округлили вверх, частное было бы немного меньше 1/10. Но в любом случае оно не может быть *точно* 1/10!204205Итак, компьютер никогда не «видит» 1/10: он видит точную дробь, указанную выше, – наилучшее приближение двойной точности IEEE 754, которое он может получить:206207```python208>>> 0.1 * 2 ** 552093602879701896397.0210```211212Если умножить эту дробь на 10\*\*55, мы увидим значение с точностью до 55 десятичных знаков:213214```python215>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 552161000000000000000055511151231257827021181583404541015625217```218219что означает, что точное число, хранящееся в компьютере, равно десятичному значению 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Вместо отображения полного десятичного значения многие языки (включая старые версии Python) округляют результат до 17 значащих цифр:220221```python222>>> format(0.1, '.17f')223'0.10000000000000001'224```225226Модули [`fractions`](https://python-all.ru/3.11/library/fractions.html#module-fractions) и [`decimal`](https://python-all.ru/3.11/library/decimal.html#module-decimal) упрощают эти вычисления:227228```python229>>> from decimal import Decimal230>>> from fractions import Fraction231232>>> Fraction.from_float(0.1)233Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)234235>>> (0.1).as_integer_ratio()236(3602879701896397, 36028797018963968)237238>>> Decimal.from_float(0.1)239Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')240241>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')242'0.10000000000000001'243```244