cmath.md

1> **Источник:** https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html2>3> «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor.45---67# 9.3. [`cmath`](https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html#module-cmath) – Математические функции для комплексных чисел89Этот модуль всегда доступен. Он предоставляет доступ к математическим функциям для комплексных чисел. Функции в этом модуле принимают в качестве аргументов целые числа, числа с плавающей точкой или комплексные числа. Они также принимают любой объект Python, имеющий метод [`__complex__()`](https://python-all.ru/2.7/reference/datamodel.html#object.__complex__) или [`__float__()`](https://python-all.ru/2.7/reference/datamodel.html#object.__float__): эти методы используются для преобразования объекта в комплексное число или число с плавающей точкой соответственно, после чего функция применяется к результату преобразования.1011> **Примечание**12>13> На платформах с аппаратной и системной поддержкой знакового нуля функции, использующие разрезы ветвей, непрерывны по *обе* стороны разреза: знак нуля отличает одну сторону от другой. На платформах без поддержки знакового нуля непрерывность описывается ниже.1415## 9.3.1. Преобразования в полярные координаты и обратно1617Комплексное число Python `z` хранится внутри в *прямоугольных* или *декартовых* координатах. Оно полностью определяется своей *действительной частью* `z.real` и своей *мнимой частью* `z.imag`. Иными словами:1819```python20z == z.real + z.imag*1j21```2223*Полярные координаты* дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число *z* определяется модулем *r* и фазовым углом *phi*. Модуль *r* – это расстояние от *z* до начала координат, а фаза *phi* – это угол, измеряемый в радианах против часовой стрелки от положительной оси x до отрезка, соединяющего начало координат с *z*.2425Следующие функции можно использовать для преобразования из исходных прямоугольных координат в полярные и обратно.2627#### `cmath.phase(x)`2829Возвращает фазу *x* (также известную как *аргумент* числа *x*) в виде числа с плавающей точкой. `phase(x)` эквивалентно `math.atan2(x.imag, x.real)`. Результат лежит в диапазоне \[-π, π\], а разрез ветви для этой операции проходит вдоль отрицательной действительной оси, непрерывный сверху. В системах с поддержкой знакового нуля (что включает большинство современных систем) это означает, что знак результата совпадает со знаком `x.imag`, даже если `x.imag` равно нулю:3031```python32>>> phase(complex(-1.0, 0.0))333.141592653589793134>>> phase(complex(-1.0, -0.0))35-3.141592653589793136```3738Новое в версии 2.6.3940> **Примечание**41>42> Модуль (абсолютное значение) комплексного числа *x* можно вычислить с помощью встроенной функции [`abs()`](https://python-all.ru/2.7/library/functions.html#abs). Отдельной функции модуля [`cmath`](https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html#module-cmath) для этой операции нет.4344#### `cmath.polar(x)`4546Возвращает представление *x* в полярных координатах. Возвращает пару `(r, phi)`, где *r* – модуль *x*, а phi – фаза *x*. `polar(x)` эквивалентно `(abs(x), phase(x))`.4748Новое в версии 2.6.4950#### `cmath.rect(r, phi)`5152Возвращает комплексное число *x* с полярными координатами *r* и *phi*. Эквивалентно `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`.5354Новое в версии 2.6.5556## 9.3.2. Степенные и логарифмические функции5758#### `cmath.exp(x)`5960Возвращает экспоненциальное значение `e**x`.6162#### `cmath.log(x[, base])`6364Возвращает логарифм *x* по заданному *основанию*. Если *основание* не указано, возвращает натуральный логарифм *x*. Имеется один разрез ветви: от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.6566Изменено в версии 2.4: добавлен аргумент *base*.6768#### `cmath.log10(x)`6970Возвращает десятичный логарифм *x*. Имеет тот же разрез ветви, что [`log()`](https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html#cmath.log).7172#### `cmath.sqrt(x)`7374Возвращает квадратный корень *x*. Имеет тот же разрез ветви, что и [`log()`](https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html#cmath.log).7576## 9.3.3. Тригонометрические функции7778#### `cmath.acos(x)`7980Возвращает арккосинус *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.8182#### `cmath.asin(x)`8384Return the arc sine of *x*. This has the same branch cuts as [`acos()`](https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html#cmath.acos).8586#### `cmath.atan(x)`8788Возвращает арктангенс *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1j` вдоль мнимой оси до `∞j`, непрерывный справа. Другой простирается от `-1j` вдоль мнимой оси до `-∞j`, непрерывный слева.8990Изменено в версии 2.6: направление непрерывности верхнего разреза изменено на противоположное9192#### `cmath.cos(x)`9394Возвращает косинус *x*.9596#### `cmath.sin(x)`9798Возвращает синус *x*.99100#### `cmath.tan(x)`101102Возвращает тангенс *x*.103104## 9.3.4. Гиперболические функции105106#### `cmath.acosh(x)`107108Возвращает обратный гиперболический косинус *x*. Имеется один разрез ветви, простирающийся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.109110#### `cmath.asinh(x)`111112Возвращает обратный гиперболический синус *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1j` вдоль мнимой оси до `∞j`, непрерывный справа. Другой простирается от `-1j` вдоль мнимой оси до `-∞j`, непрерывный слева.113114Изменено в версии 2.6: разрезы ветвей перемещены в соответствии с рекомендациями стандарта C99115116#### `cmath.atanh(x)`117118Возвращает обратный гиперболический тангенс *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1` вдоль вещественной оси до `∞`, непрерывный снизу. Другой простирается от `-1` вдоль вещественной оси до `-∞`, непрерывный сверху.119120Изменено в версии 2.6: направление непрерывности правого разреза изменено на противоположное121122#### `cmath.cosh(x)`123124Возвращает гиперболический косинус *x*.125126#### `cmath.sinh(x)`127128Возвращает гиперболический синус *x*.129130#### `cmath.tanh(x)`131132Возвращает гиперболический тангенс *x*.133134## 9.3.5. Функции классификации135136#### `cmath.isinf(x)`137138Возвращает `True`, если действительная или мнимая часть x равна положительной или отрицательной бесконечности.139140Новое в версии 2.6.141142#### `cmath.isnan(x)`143144Возвращает `True`, если действительная или мнимая часть x не является числом (NaN).145146Новое в версии 2.6.147148## 9.3.6. Константы149150#### `cmath.pi`151152Математическая константа *π*, в виде числа с плавающей запятой.153154#### `cmath.e`155156Математическая константа *e*, в виде числа с плавающей запятой.157158Обратите внимание, что набор функций похож на набор из модуля [`math`](https://python-all.ru/2.7/library/math.html#module-math), но не идентичен ему. Причина наличия двух модулей в том, что некоторым пользователям неинтересны комплексные числа, и они, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочли бы, чтобы `math.sqrt(-1)` вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также следует отметить, что функции, определённые в [`cmath`](https://python-all.ru/2.7/library/cmath.html#module-cmath), всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен вещественным числом (в этом случае комплексное число имеет нулевую мнимую часть).159160Примечание о разрезах ветвей: это кривые, вдоль которых данная функция перестаёт быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять комплексные функции, вы разбираетесь в разрезах ветвей. Для понимания обратитесь к любой (не слишком элементарной) книге по комплексному анализу. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных расчётов хорошим справочником может служить следующее издание:161162> **См. также**163>164> Kahan, W: Ветви разрезов для комплексных элементарных функций; или Много шума из-за знакового бита. В Iserles, A., и Powell, M. (ред.), Современное состояние численного анализа. Clarendon Press (1987) стр. 165–211.165