> **Источник:** https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html > > «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor. --- # 9.3. [`cmath`](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html#module-cmath) – Математические функции для комплексных чисел --- Этот модуль всегда доступен. Он предоставляет доступ к математическим функциям для комплексных чисел. Функции в этом модуле принимают в качестве аргументов целые числа, числа с плавающей точкой или комплексные числа. Они также принимают любой объект Python, имеющий метод [`__complex__()`](https://python-all.ru/3.6/reference/datamodel.html#object.__complex__) или [`__float__()`](https://python-all.ru/3.6/reference/datamodel.html#object.__float__): эти методы используются для преобразования объекта в комплексное число или число с плавающей точкой соответственно, после чего функция применяется к результату преобразования. > **Примечание** > > На платформах с аппаратной и системной поддержкой знакового нуля функции, использующие разрезы ветвей, непрерывны по *обе* стороны разреза: знак нуля отличает одну сторону от другой. На платформах без поддержки знакового нуля непрерывность описывается ниже. ## 9.3.1. Преобразования в полярные координаты и обратно Комплексное число Python `z` хранится внутри в *прямоугольных* или *декартовых* координатах. Оно полностью определяется своей *действительной частью* `z.real` и своей *мнимой частью* `z.imag`. Иными словами: ```python z == z.real + z.imag*1j ``` *Полярные координаты* дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число *z* определяется модулем *r* и фазовым углом *phi*. Модуль *r* – это расстояние от *z* до начала координат, а фаза *phi* – это угол, измеряемый в радианах против часовой стрелки от положительной оси x до отрезка, соединяющего начало координат с *z*. Следующие функции можно использовать для преобразования из исходных прямоугольных координат в полярные и обратно. #### `cmath.phase(x)` Возвращает фазу *x* (также известную как *аргумент* числа *x*) в виде числа с плавающей точкой. `phase(x)` эквивалентно `math.atan2(x.imag, x.real)`. Результат лежит в диапазоне \[-π, π\], а разрез ветви для этой операции проходит вдоль отрицательной действительной оси, непрерывный сверху. В системах с поддержкой знакового нуля (что включает большинство современных систем) это означает, что знак результата совпадает со знаком `x.imag`, даже если `x.imag` равно нулю: ```python >>> phase(complex(-1.0, 0.0)) 3.141592653589793 >>> phase(complex(-1.0, -0.0)) -3.141592653589793 ``` > **Примечание** > > Модуль (абсолютное значение) комплексного числа *x* можно вычислить с помощью встроенной функции [`abs()`](https://python-all.ru/3.6/library/functions.html#abs). Отдельной функции модуля [`cmath`](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html#module-cmath) для этой операции нет. #### `cmath.polar(x)` Возвращает представление *x* в полярных координатах. Возвращает пару `(r, phi)`, где *r* – модуль *x*, а phi – фаза *x*. `polar(x)` эквивалентно `(abs(x), phase(x))`. #### `cmath.rect(r, phi)` Возвращает комплексное число *x* с полярными координатами *r* и *phi*. Эквивалентно `r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)`. ## 9.3.2. Степенные и логарифмические функции #### `cmath.exp(x)` Возвращает экспоненциальное значение `e**x`. #### `cmath.log(x[, base])` Возвращает логарифм *x* по заданному *основанию*. Если *основание* не указано, возвращает натуральный логарифм *x*. Имеется один разрез ветви: от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху. #### `cmath.log10(x)` Возвращает десятичный логарифм *x*. Имеет тот же разрез ветви, что [`log()`](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html#cmath.log). #### `cmath.sqrt(x)` Возвращает квадратный корень *x*. Имеет тот же разрез ветви, что и [`log()`](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html#cmath.log). ## 9.3.3. Тригонометрические функции #### `cmath.acos(x)` Возвращает арккосинус *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху. #### `cmath.asin(x)` Return the arc sine of *x*. This has the same branch cuts as [`acos()`](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html#cmath.acos). #### `cmath.atan(x)` Возвращает арктангенс *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1j` вдоль мнимой оси до `∞j`, непрерывный справа. Другой простирается от `-1j` вдоль мнимой оси до `-∞j`, непрерывный слева. #### `cmath.cos(x)` Возвращает косинус *x*. #### `cmath.sin(x)` Возвращает синус *x*. #### `cmath.tan(x)` Возвращает тангенс *x*. ## 9.3.4. Гиперболические функции #### `cmath.acosh(x)` Возвращает обратный гиперболический косинус *x*. Имеется один разрез ветви, простирающийся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху. #### `cmath.asinh(x)` Возвращает обратный гиперболический синус *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1j` вдоль мнимой оси до `∞j`, непрерывный справа. Другой простирается от `-1j` вдоль мнимой оси до `-∞j`, непрерывный слева. #### `cmath.atanh(x)` Возвращает обратный гиперболический тангенс *x*. Имеются два разреза ветвей: один простирается от `1` вдоль вещественной оси до `∞`, непрерывный снизу. Другой простирается от `-1` вдоль вещественной оси до `-∞`, непрерывный сверху. #### `cmath.cosh(x)` Возвращает гиперболический косинус *x*. #### `cmath.sinh(x)` Возвращает гиперболический синус *x*. #### `cmath.tanh(x)` Возвращает гиперболический тангенс *x*. ## 9.3.5. Функции классификации #### `cmath.isfinite(x)` Возвращает `True`, если и вещественная, и мнимая части *x* конечны, и `False` в противном случае. Новое в версии 3.2. #### `cmath.isinf(x)` Возвращает `True`, если хотя бы одна из частей *x* (вещественная или мнимая) является бесконечностью, и `False` в противном случае. #### `cmath.isnan(x)` Возвращает `True`, если хотя бы одна из частей *x* (вещественная или мнимая) является NaN, и `False` в противном случае. #### `cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)` Возвращает `True`, если значения *a* и *b* близки друг к другу, и `False` иначе. Близость двух значений определяется заданными абсолютной и относительной допустимыми погрешностями. *rel\_tol* – это относительная допустимая погрешность: максимально допустимая разница между *a* и *b*, взятая относительно большего абсолютного значения *a* или *b*. Например, чтобы установить погрешность 5%, передайте `rel_tol=0.05`. По умолчанию погрешность равна `1e-09`, что гарантирует совпадение двух значений с точностью примерно до 9 десятичных знаков. *rel\_tol* должен быть больше нуля. *abs\_tol* – это минимальная абсолютная допустимая погрешность, полезная для сравнений вблизи нуля. *abs\_tol* должен быть не меньше нуля. Если ошибок не возникло, результатом будет: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`. Особые значения IEEE 754: `NaN`, `inf` и `-inf` обрабатываются согласно правилам IEEE. В частности, `NaN` не считается близким ни к какому другому значению, включая `NaN`. `inf` и `-inf` считаются близкими только сами к себе. Новое в версии 3.5. > **См. также** > > [**PEP 485**](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html) – Функция для проверки приблизительного равенства ## 9.3.6. Константы #### `cmath.pi` Математическая константа *π*, в виде числа с плавающей запятой. #### `cmath.e` Математическая константа *e*, в виде числа с плавающей запятой. #### `cmath.tau` Математическая константа *τ*, в виде числа с плавающей запятой. Новое в версии 3.6. #### `cmath.inf` Положительная бесконечность с плавающей запятой. Эквивалентна `float('inf')`. Новое в версии 3.6. #### `cmath.infj` Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечной мнимой частью. Эквивалентно `complex(0.0, float('inf'))`. Новое в версии 3.6. #### `cmath.nan` Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно `float('nan')`. Новое в версии 3.6. #### `cmath.nanj` Комплексное число с нулевой действительной частью и NaN в мнимой части. Эквивалентно `complex(0.0, float('nan'))`. Новое в версии 3.6. Обратите внимание, что набор функций похож на набор из модуля [`math`](https://python-all.ru/3.6/library/math.html#module-math), но не идентичен ему. Причина наличия двух модулей в том, что некоторым пользователям неинтересны комплексные числа, и они, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочли бы, чтобы `math.sqrt(-1)` вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также следует отметить, что функции, определённые в [`cmath`](https://python-all.ru/3.6/library/cmath.html#module-cmath), всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен вещественным числом (в этом случае комплексное число имеет нулевую мнимую часть). Примечание о разрезах ветвей: это кривые, вдоль которых данная функция перестаёт быть непрерывной. Они являются необходимым свойством многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять комплексные функции, вы разбираетесь в разрезах ветвей. Для понимания обратитесь к любой (не слишком элементарной) книге по комплексному анализу. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных расчётов хорошим справочником может служить следующее издание: > **См. также** > > Kahan, W: Ветви разрезов для комплексных элементарных функций; или Много шума из-за знакового бита. В Iserles, A., и Powell, M. (ред.), Современное состояние численного анализа. Clarendon Press (1987) стр. 165–211.