> **Источник:** https://python-all.ru/3.5/library/math.html > > «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor. --- # 9.2. [`math`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#module-math) – Математические функции --- Этот модуль всегда доступен. Он предоставляет доступ к математическим функциям, определённым в стандарте C. Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; если нужна поддержка комплексных чисел, используйте одноимённые функции из модуля [`cmath`](https://python-all.ru/3.5/library/cmath.html#module-cmath). Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и теми, которые их не поддерживают, проведено потому, что большинству пользователей не нужно углубляться в математику, необходимую для понимания комплексных чисел. Получение исключения вместо комплексного результата позволяет раньше обнаружить непредвиденное комплексное число, переданное в качестве параметра, так что программист может выяснить, как и почему оно возникло. Модуль предоставляет следующие функции. Если не указано иное, все возвращаемые значения являются числами с плавающей запятой. ## 9.2.1. Теоретико-числовые функции и функции представления #### `math.ceil(x)` Возвращает потолок *x* – наименьшее целое число, большее или равное *x*. Если *x* не является float, делегирует `x.__ceil__()`, которая должна вернуть значение [`Integral`](https://python-all.ru/3.5/library/numbers.html#numbers.Integral). #### `math.copysign(x, y)` Возвращает float с модулем (абсолютным значением) *x*, но со знаком *y*. На платформах, поддерживающих знаковый нуль, `copysign(1.0, -0.0)` возвращает *-1.0*. #### `math.fabs(x)` Возвращает абсолютное значение *x*. #### `math.factorial(x)` Возвращает факториал *x*. Возбуждает [`ValueError`](https://python-all.ru/3.5/library/exceptions.html#ValueError), если *x* не является целым числом или является отрицательным. #### `math.floor(x)` Возвращает пол *x* – наибольшее целое число, меньшее или равное *x*. Если *x* не является float, делегирует `x.__floor__()`, которая должна вернуть значение [`Integral`](https://python-all.ru/3.5/library/numbers.html#numbers.Integral). #### `math.fmod(x, y)` Возвращает `fmod(x, y)`, как определено библиотекой C платформы. Обратите внимание, что Python-выражение `x % y` может вернуть другой результат. Стандарт C подразумевает, что `fmod(x, y)` точно (математически, с бесконечной точностью) равно `x - n*y` для некоторого целого *n* такого, что результат имеет тот же знак, что и *x*, а его модуль меньше `abs(y)`. В Python `x % y` возвращает результат со знаком *y* вместо этого, и может быть невычислим точно для аргументов float. Например, `fmod(-1e-100, 1e100)` равно `-1e-100`, но результат Python-выражения `-1e-100 % 1e100` равен `1e100-1e-100`, что не может быть представлено точно как float и округляется до удивительного `1e100`. По этой причине функция [`fmod()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.fmod) обычно предпочтительнее при работе с float, в то время как `x % y` предпочтительнее при работе с целыми числами. #### `math.frexp(x)` Возвращает мантиссу и экспоненту числа *x* в виде пары `(m, e)`. *m* – число с плавающей запятой, а *e* – целое число, такие что `x == m * 2**e` точно. Если *x* равно нулю, возвращает `(0.0, 0)`, иначе `0.5 <= abs(m) < 1`. Это используется для «разбора» внутреннего представления числа с плавающей запятой переносимым способом. #### `math.fsum(iterable)` Возвращает точную сумму чисел с плавающей запятой из итерируемого объекта. Избегает потери точности за счёт отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм: ```python >>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1]) 0.9999999999999999 >>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1]) 1.0 ``` Точность алгоритма зависит от гарантий арифметики IEEE-754 и типичного случая, когда режим округления – «half-even». В некоторых сборках не под Windows базовая библиотека C использует сложение с расширенной точностью и может иногда дважды округлять промежуточную сумму, что приводит к ошибке в самом младшем значащем бите. Для более подробного обсуждения и двух альтернативных подходов см. [рецепты ASPN cookbook для точного суммирования чисел с плавающей запятой](https://python-all.ru/3.5/library/math.html). #### `math.gcd(a, b)` Возвращает наибольший общий делитель целых чисел *a* и *b*. Если *a* или *b* не равно нулю, то значение `gcd(a, b)` – это наибольшее положительное целое число, которое делит как *a*, так и *b*. `gcd(0, 0)` возвращает `0`. Новое в версии 3.5. #### `math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)` Возвращает `True`, если значения *a* и *b* близки друг к другу, и `False` иначе. Близость двух значений определяется заданными абсолютной и относительной допустимыми погрешностями. *rel\_tol* – это относительная допустимая погрешность: максимально допустимая разница между *a* и *b*, взятая относительно большего абсолютного значения *a* или *b*. Например, чтобы установить погрешность 5%, передайте `rel_tol=0.05`. По умолчанию погрешность равна `1e-09`, что гарантирует совпадение двух значений с точностью примерно до 9 десятичных знаков. *rel\_tol* должен быть больше нуля. *abs\_tol* – это минимальная абсолютная допустимая погрешность, полезная для сравнений вблизи нуля. *abs\_tol* должен быть не меньше нуля. Если ошибок не возникло, результатом будет: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`. Особые значения IEEE 754: `NaN`, `inf` и `-inf` обрабатываются согласно правилам IEEE. В частности, `NaN` не считается близким ни к какому другому значению, включая `NaN`. `inf` и `-inf` считаются близкими только сами к себе. Новое в версии 3.5. > **См. также** > > [**PEP 485**](https://python-all.ru/3.5/library/math.html) – Функция для проверки приблизительного равенства #### `math.isfinite(x)` Возвращает `True`, если *x* не является ни бесконечностью, ни NaN, и `False` в противном случае. (Заметьте, что `0.0` *считается* конечным.) Новое в версии 3.2. #### `math.isinf(x)` Возвращает `True`, если *x* является положительной или отрицательной бесконечностью, и `False` в противном случае. #### `math.isnan(x)` Возвращает `True`, если *x* является NaN (не числом), и `False` в противном случае. #### `math.ldexp(x, i)` Возвращает `x * (2**i)`. По сути, это обратная функция по отношению к [`frexp()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.frexp). #### `math.modf(x)` Возвращает дробную и целую части *x*. Оба результата имеют тот же знак, что и *x*, и являются числами с плавающей запятой. #### `math.trunc(x)` Возвращает значение [`Real`](https://python-all.ru/3.5/library/numbers.html#numbers.Real) *x*, усечённое до [`Integral`](https://python-all.ru/3.5/library/numbers.html#numbers.Integral) (обычно целого числа). Делегирует `x.__trunc__()`. Обратите внимание, что [`frexp()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.frexp) и [`modf()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.modf) имеют иной шаблон вызова и возврата, чем их эквиваленты на C: они принимают один аргумент и возвращают пару значений, а не возвращают второе возвращаемое значение через «выходной параметр» (в Python такого нет). Для функций [`ceil()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.ceil), [`floor()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.floor) и [`modf()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.modf) обратите внимание, что *все* числа с плавающей запятой достаточно большой величины являются точными целыми числами. Float в Python обычно имеют точность не более 53 бит (как и тип C double на данной платформе), и в этом случае любой float *x* с `abs(x) >= 2**52` не имеет дробных битов. ## 9.2.2. Степенные и логарифмические функции #### `math.exp(x)` Вернуть `e**x`. #### `math.expm1(x)` Возвращает `e**x - 1`. Для небольших чисел с плавающей точкой *x* вычитание в `exp(x) - 1` может привести к [значительной потере точности](https://python-all.ru/3.5/library/math.html); функция [`expm1()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.expm1) позволяет вычислить это значение с полной точностью: ```python >>> from math import exp, expm1 >>> exp(1e-5) - 1 # даёт результат с точностью до 11 знаков 1.0000050000069649e-05 >>> expm1(1e-5) # результат с полной точностью 1.0000050000166668e-05 ``` Новое в версии 3.2. #### `math.log(x[, base])` С одним аргументом возвращает натуральный логарифм *x* (по основанию *e*). С двумя аргументами возвращает логарифм *x* по заданному основанию *base*, вычисленный как `log(x)/log(base)`. #### `math.log1p(x)` Возвращает натуральный логарифм *1+x* (основание *e*). Результат вычисляется способом, точным для *x* вблизи нуля. #### `math.log2(x)` Возвращает двоичный логарифм *x*. Обычно это точнее, чем `log(x, 2)`. Новое в версии 3.3. > **См. также** > > [`int.bit_length()`](https://python-all.ru/3.5/library/stdtypes.html#int.bit_length) возвращает количество битов, необходимое для представления целого числа в двоичном виде, без учёта знака и ведущих нулей. #### `math.log10(x)` Возвращает десятичный логарифм *x*. Обычно это точнее, чем `log(x, 10)`. #### `math.pow(x, y)` Возвращает `x`, возведённое в степень `y`. Исключительные случаи следуют Приложению ‘F’ стандарта C99 насколько это возможно. В частности, `pow(1.0, x)` и `pow(x, 0.0)` всегда возвращают `1.0`, даже когда `x` равен нулю или NaN. Если и `x`, и `y` конечны, `x` отрицательно, а `y` не является целым числом, то `pow(x, y)` не определён и вызывает [`ValueError`](https://python-all.ru/3.5/library/exceptions.html#ValueError). В отличие от встроенного оператора `**`, [`math.pow()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.pow) преобразует оба аргумента к типу [`float`](https://python-all.ru/3.5/library/functions.html#float). Используйте `**` или встроенную функцию [`pow()`](https://python-all.ru/3.5/library/functions.html#pow) для точного вычисления целочисленных степеней. #### `math.sqrt(x)` Возвращает квадратный корень из *x*. ## 9.2.3. Тригонометрические функции #### `math.acos(x)` Возвращает арккосинус *x* в радианах. #### `math.asin(x)` Возвращает арксинус *x* в радианах. #### `math.atan(x)` Возвращает арктангенс *x* в радианах. #### `math.atan2(y, x)` Возвращает `atan(y / x)` в радианах. Результат находится в диапазоне от `-pi` до `pi`. Вектор на плоскости от начала координат до точки `(x, y)` образует этот угол с положительной осью X. Особенность [`atan2()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.atan2) в том, что ему известны знаки обоих аргументов, поэтому он может вычислить правильный квадрант для угла. Например, `atan(1)` и `atan2(1, 1)` равны `pi/4`, но `atan2(-1, -1)` равен `-3*pi/4`. #### `math.cos(x)` Возвращает косинус *x* радиан. #### `math.hypot(x, y)` Возвращает евклидову норму `sqrt(x*x + y*y)`. Это длина вектора от начала координат до точки `(x, y)`. #### `math.sin(x)` Возвращает синус *x* радиан. #### `math.tan(x)` Возвращает тангенс *x* радиан. ## 9.2.4. Преобразование углов #### `math.degrees(x)` Преобразует угол *x* из радианов в градусы. #### `math.radians(x)` Преобразует угол *x* из градусов в радианы. ## 9.2.5. Гиперболические функции [Гиперболические функции](https://python-all.ru/3.5/library/math.html) – это аналоги тригонометрических функций, основанные на гиперболах, а не на окружностях. #### `math.acosh(x)` Возвращает обратный гиперболический косинус *x*. #### `math.asinh(x)` Возвращает обратный гиперболический синус *x*. #### `math.atanh(x)` Возвращает обратный гиперболический тангенс *x*. #### `math.cosh(x)` Возвращает гиперболический косинус *x*. #### `math.sinh(x)` Возвращает гиперболический синус *x*. #### `math.tanh(x)` Возвращает гиперболический тангенс *x*. ## 9.2.6. Специальные функции #### `math.erf(x)` Возвращает значение [функции ошибок](https://python-all.ru/3.5/library/math.html) в точке *x*. Функция [`erf()`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#math.erf) может использоваться для вычисления традиционных статистических функций, таких как [кумулятивное стандартное нормальное распределение](https://python-all.ru/3.5/library/math.html): ```python def phi(x): 'Cumulative distribution function for the standard normal distribution' return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0 ``` Новое в версии 3.2. #### `math.erfc(x)` Возвращает дополнительную функцию ошибок в точке *x*. [Дополнительная функция ошибок](https://python-all.ru/3.5/library/math.html) определяется как `1.0 - erf(x)`. Она используется для больших значений *x*, где вычитание из единицы может привести к [потере значимости](https://python-all.ru/3.5/library/math.html). Новое в версии 3.2. #### `math.gamma(x)` Возвращает значение [гамма-функции](https://python-all.ru/3.5/library/math.html) в точке *x*. Новое в версии 3.2. #### `math.lgamma(x)` Возвращает натуральный логарифм абсолютного значения гамма-функции в точке *x*. Новое в версии 3.2. ## 9.2.7. Константы #### `math.pi` Математическая константа π = 3.141592…, с доступной точностью. #### `math.e` Математическая константа e = 2.718281…, с доступной точностью. #### `math.inf` Положительная бесконечность с плавающей запятой. (Для отрицательной бесконечности используйте `-math.inf`.) Эквивалентно результату `float('inf')`. Новое в версии 3.5. #### `math.nan` Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно результату `float('nan')`. Новое в версии 3.5. **Особенность реализации CPython:** Модуль [`math`](https://python-all.ru/3.5/library/math.html#module-math) в основном состоит из тонких обёрток вокруг функций математической библиотеки C платформы. Поведение в исключительных случаях следует приложению F стандарта C99, где это применимо. Текущая реализация вызывает [`ValueError`](https://python-all.ru/3.5/library/exceptions.html#ValueError) для недопустимых операций, таких как `sqrt(-1.0)` или `log(0.0)` (где приложение F C99 рекомендует сигнализировать о недопустимой операции или делении на ноль), и [`OverflowError`](https://python-all.ru/3.5/library/exceptions.html#OverflowError) для результатов, вызывающих переполнение (например, `exp(1000.0)`). NaN не будет возвращён ни одной из указанных выше функций, если только один или несколько входных аргументов не были NaN; в этом случае большинство функций вернут NaN, но (опять же следуя приложению F C99) есть некоторые исключения из этого правила, например `pow(float('nan'), 0.0)` или `hypot(float('nan'), float('inf'))`. Обратите внимание, что Python не различает сигнальные NaN и тихие NaN, и поведение для сигнальных NaN остаётся неуточнённым. Обычное поведение – обрабатывать все NaN так, как будто они тихие. > **См. также** > > **Модуль [`cmath`](https://python-all.ru/3.5/library/cmath.html#module-cmath)** > > Версии многих из этих функций для комплексных чисел.