> **Источник:** https://python-all.ru/3.16/library/math.html > > «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor. --- # `math` – Математические функции --- Этот модуль предоставляет доступ к распространённым математическим функциям и константам, в том числе определённым стандартом C. Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; если нужна поддержка комплексных чисел, используйте одноимённые функции из модуля [`cmath`](https://python-all.ru/3.16/library/cmath.html#module-cmath). Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и теми, которые их не поддерживают, проведено потому, что большинству пользователей не нужно углубляться в математику, необходимую для понимания комплексных чисел. Получение исключения вместо комплексного результата позволяет раньше обнаружить непредвиденное комплексное число, переданное в качестве параметра, так что программист может выяснить, как и почему оно возникло. Модуль предоставляет следующие функции. Если не указано иное, все возвращаемые значения являются числами с плавающей запятой. | **Арифметика с плавающей запятой** | | | --- | --- | | [`ceil(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.ceil) | Потолок *x* – наименьшее целое число, большее или равное *x* | | [`fabs(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.fabs) | Абсолютное значение *x* | | [`floor(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.floor) | Пол *x* – наибольшее целое число, меньшее или равное *x* | | [`fma(x, y, z)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.fma) | Совмещённая операция умножения-сложения: `(x * y) + z` | | [`fmax(x, y)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.fmax) | Максимум двух значений с плавающей запятой | | [`fmin(x, y)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.fmin) | Минимум двух значений с плавающей запятой | | [`fmod(x, y)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.fmod) | Остаток от деления `x / y` | | [`modf(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.modf) | Дробная и целая части *x* | | [`remainder(x, y)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.remainder) | Остаток от деления *x* на *y* | | [`trunc(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.trunc) | Целая часть *x* | | **Функции для работы с числами с плавающей запятой** | | | [`copysign(x, y)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.copysign) | Модуль (абсолютное значение) *x* со знаком *y* | | [`frexp(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.frexp) | Мантисса и экспонента *x* | | [`isclose(a, b, rel_tol, abs_tol)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isclose) | Проверяет, близки ли значения *a* и *b* друг к другу | | [`isfinite(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isfinite) | Проверить, не является ли *x* ни бесконечностью, ни NaN | | [`isnormal(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isnormal) | Проверяет, является ли *x* нормальным числом | | [`issubnormal(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.issubnormal) | Проверяет, является ли *x* субнормальным числом | | [`isinf(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isinf) | Проверить, является ли *x* положительной или отрицательной бесконечностью | | [`isnan(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isnan) | Проверить, является ли *x* значением NaN (не число) | | [`ldexp(x, i)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.ldexp) | `x * (2**i)`, обратная функция к [`frexp()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.frexp) | | [`nextafter(x, y, steps)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.nextafter) | Число с плавающей запятой, отстоящее от *x* на *steps* шагов в направлении *y* | | [`signbit(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.signbit) | Проверяет, является ли *x* отрицательным числом | | [`ulp(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.ulp) | Значение наименьшего значащего бита *x* | | **Степенные, экспоненциальные и логарифмические функции** | | | [`cbrt(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.cbrt) | Кубический корень из *x* | | [`exp(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.exp) | *e* в степени *x* | | [`exp2(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.exp2) | *2* в степени *x* | | [`expm1(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.expm1) | *e* в степени *x* минус 1 | | [`log(x, base)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.log) | Логарифм *x* по заданному основанию (по умолчанию *e*) | | [`log1p(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.log1p) | Натуральный логарифм *1+x* (по основанию *e*) | | [`log2(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.log2) | Двоичный логарифм *x* | | [`log10(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.log10) | Десятичный логарифм *x* | | [`pow(x, y)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.pow) | *x* в степени *y* | | [`sqrt(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.sqrt) | Квадратный корень *x* | | **Функции суммирования и произведения** | | | [`dist(p, q)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.dist) | Евклидово расстояние между двумя точками *p* и *q*, заданными как итерируемый объект координат | | [`fsum(iterable)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.fsum) | Сумма значений во входном *iterable* | | [`hypot(*coordinates)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.hypot) | Евклидова норма итерируемого объекта координат | | [`prod(iterable, start)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.prod) | Произведение элементов во входном *iterable* с начальным значением *start* | | [`sumprod(p, q)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.sumprod) | Сумма произведений из двух итерируемых объектов *p* и *q* | | **Преобразование угловых величин** | | | [`degrees(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.degrees) | Преобразовать угол *x* из радианов в градусы | | [`radians(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.radians) | Преобразовать угол *x* из градусов в радианы | | **Тригонометрические функции** | | | [`acos(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.acos) | Арккосинус *x*, в радианах | | [`acospi(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.acospi) | Арккосинус *x*, в полуоборотах | | [`asin(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.asin) | Арксинус *x*, в радианах | | [`asinpi(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.asinpi) | Арксинус *x*, в полуоборотах | | [`atan(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.atan) | Арктангенс *x*, в радианах | | [`atanpi(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.atanpi) | Арктангенс *x*, в полуоборотах | | [`atan2(y, x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.atan2) | `atan(y / x)`, в радианах | | [`atan2pi(y, x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.atan2pi) | `atan(y / x)`, в полуоборотах | | [`cos(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.cos) | Косинус *x* радиан | | [`cospi(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.cospi) | Косинус *x⋅π* радиан | | [`sin(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.sin) | Синус *x* радиан | | [`sinpi(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.sinpi) | Синус *x⋅π* радиан | | [`tan(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.tan) | Тангенс *x* радиан | | [`tanpi(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.tanpi) | Тангенс *x⋅π* радиан | | **Гиперболические функции** | | | [`acosh(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.acosh) | Обратный гиперболический косинус *x* | | [`asinh(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.asinh) | Обратный гиперболический синус *x* | | [`atanh(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.atanh) | Обратный гиперболический тангенс *x* | | [`cosh(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.cosh) | Гиперболический косинус *x* | | [`sinh(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.sinh) | Гиперболический синус *x* | | [`tanh(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.tanh) | Гиперболический тангенс *x* | | **Специальные функции** | | | [`erf(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.erf) | [Функция ошибок](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) при *x* | | [`erfc(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.erfc) | [Дополнительная функция ошибок](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) при *x* | | [`gamma(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.gamma) | [Гамма-функция](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) при *x* | | [`lgamma(x)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.lgamma) | Натуральный логарифм абсолютного значения [гамма-функции](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) при *x* | | **Константы** | | | [`pi`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.pi) | *π* = 3.141592… | | [`e`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.e) | *e* = 2.718281… | | [`tau`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.tau) | *τ* = 2*π* = 6.283185… | | [`inf`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.inf) | Положительная бесконечность | | [`nan`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.nan) | «Не число» (NaN) | ## Арифметика с плавающей запятой #### `math.ceil(x)` Возвращает потолок *x* – наименьшее целое число, большее или равное *x*. Если *x* не является числом с плавающей запятой, делегирует выполнение [`x.__ceil__`](https://python-all.ru/3.16/reference/datamodel.html#object.__ceil__), которая должна вернуть значение типа [`Integral`](https://python-all.ru/3.16/library/numbers.html#numbers.Integral). #### `math.fabs(x)` Возвращает абсолютное значение *x*. #### `math.floor(x)` Возвращает пол *x* – наибольшее целое число, меньшее или равное *x*. Если *x* не является числом с плавающей запятой, делегирует выполнение [`x.__floor__`](https://python-all.ru/3.16/reference/datamodel.html#object.__floor__), которая должна вернуть значение типа [`Integral`](https://python-all.ru/3.16/library/numbers.html#numbers.Integral). #### `math.fma(x, y, z)` Совмещённая операция умножения-сложения. Возвращает `(x * y) + z`, вычисленное как будто с бесконечной точностью и диапазоном, после чего следует однократное округление до формата `float`. Эта операция часто обеспечивает лучшую точность, чем прямое выражение `(x * y) + z`. Эта функция следует спецификации операции fusedMultiplyAdd, описанной в стандарте IEEE 754. Стандарт оставляет один случай определённым реализацией, а именно результат `fma(0, inf, nan)` и `fma(inf, 0, nan)`. В этих случаях `math.fma` возвращает NaN и не возбуждает никаких исключений. Добавлено в версии 3.13. #### `math.fmax(x, y)` Возвращает большее из двух значений с плавающей запятой, рассматривая NaN как пропущенные данные. Когда оба операнда – (знаковые) NaN или нули, возвращаются `nan` и `0` соответственно, а знак результата определяется реализацией; иначе говоря, `fmax()` не обязан учитывать знак таких операндов (см. приложение F стандарта C11, §F.10.0.3 и §F.10.9.2). Добавлено в версии 3.15. #### `math.fmin(x, y)` Возвращает меньшее из двух значений с плавающей запятой, рассматривая NaN как пропущенные данные. Когда оба операнда – (знаковые) NaN или нули, возвращаются `nan` и `0` соответственно, а знак результата определяется реализацией; иначе говоря, `fmin()` не обязан учитывать знак таких операндов (см. приложение F стандарта C11, §F.10.0.3 и §F.10.9.3). Добавлено в версии 3.15. #### `math.fmod(x, y)` Возвращает остаток от деления с плавающей запятой `x / y`, как определено библиотечной функцией C `fmod(x, y)`. Обратите внимание, что выражение Python `x % y` может возвращать другой результат. Цель стандарта C состоит в том, чтобы `fmod(x, y)` было математически (с бесконечной точностью) равно `x - n*y` для некоторого целого числа *n* такого, что результат имеет тот же знак, что и *x*, и величину меньше `abs(y)`. Функция Python `x % y` возвращает результат со знаком *y* и может быть не вычислима точно для аргументов типа float. Например, `fmod(-1e-100, 1e100)` равно `-1e-100`, но результат Python `-1e-100 % 1e100` равен `1e100-1e-100`, что не может быть представлено точно как float и округляется до неожиданного значения `1e100`. По этой причине функция `fmod()` обычно предпочтительнее при работе с числами с плавающей запятой, а функция Python `x % y` предпочтительнее при работе с целыми числами. #### `math.modf(x)` Возвращает дробную и целую части *x*. Оба результата имеют тот же знак, что и *x*, и являются числами с плавающей запятой. Обратите внимание, что `modf()` имеет другую схему вызова и возврата значения по сравнению с аналогами на C: она принимает один аргумент и возвращает пару значений, а не возвращает второе значение через «выходной параметр» (в Python такого нет). #### `math.remainder(x, y)` Возвращает остаток от деления по стандарту IEEE 754 для *x* на *y*. Для конечных *x* и конечного ненулевого *y* это разность `x - n*y`, где `n` – ближайшее целое к точному значению частного `x / y`. Если `x / y` находится ровно посередине между двумя последовательными целыми, то для `n` используется ближайшее *чётное* целое. Таким образом, остаток `r = remainder(x, y)` всегда удовлетворяет условию `abs(r) <= 0.5 * abs(y)`. Особые случаи следуют IEEE 754: в частности, `remainder(x, math.inf)` равно *x* для любого конечного *x*, а `remainder(x, 0)` и `remainder(math.inf, x)` возбуждают [`ValueError`](https://python-all.ru/3.16/library/exceptions.html#ValueError) для любого не-NaN *x*. Если результат операции остатка равен нулю, этот нуль будет иметь тот же знак, что и *x*. На платформах, использующих двоичную арифметику с плавающей запятой IEEE 754, результат этой операции всегда представим точно: погрешность округления не вносится. Добавлено в версии 3.7. #### `math.trunc(x)` Возвращает *x* с отброшенной дробной частью, оставляя только целую часть. Это округление в сторону нуля: `trunc()` эквивалентно [`floor()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.floor) для положительных *x* и эквивалентно [`ceil()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.ceil) для отрицательных *x*. Если *x* не является float, делегирует [`x.__trunc__`](https://python-all.ru/3.16/reference/datamodel.html#object.__trunc__), которая должна возвращать значение [`Integral`](https://python-all.ru/3.16/library/numbers.html#numbers.Integral). Для функций [`ceil()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.ceil), [`floor()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.floor) и [`modf()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.modf) обратите внимание, что *все* числа с плавающей запятой достаточно большой величины являются точными целыми числами. Float в Python обычно имеют точность не более 53 бит (как и тип C double на данной платформе), и в этом случае любой float *x* с `abs(x) >= 2**52` не имеет дробных битов. ## Функции для работы с числами с плавающей запятой #### `math.copysign(x, y)` Возвращает float с модулем (абсолютным значением) *x*, но со знаком *y*. На платформах, поддерживающих знаковый нуль, `copysign(1.0, -0.0)` возвращает *-1.0*. #### `math.frexp(x)` Возвращает мантиссу и экспоненту *x* в виде пары `(m, e)`. Если *x* – конечное ненулевое число, то *m* является float с `0.5 <= abs(m) < 1.0`, а целое *e* таково, что `x == m * 2**e` точно. В противном случае возвращает `(x, 0)`. Это используется для «разбора» внутреннего представления float переносимым способом. Обратите внимание, что `frexp()` имеет другую схему вызова и возврата значения по сравнению с аналогами на C: она принимает один аргумент и возвращает пару значений, а не возвращает второе значение через «выходной параметр» (в Python такого нет). #### `math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)` Возвращает `True`, если значения *a* и *b* близки друг к другу, и `False` иначе. Близость двух значений определяется на основе заданных абсолютного и относительного допусков. Если ошибок не возникает, результатом будет: `abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)`. *rel\_tol* – это относительный допуск; это максимально допустимая разница между *a* и *b*, относительно большего абсолютного значения *a* или *b*. Например, чтобы установить допуск 5%, передайте `rel_tol=0.05`. По умолчанию допуск равен `1e-09`, что гарантирует совпадение двух значений с точностью примерно до 9 десятичных знаков. *rel\_tol* должен быть неотрицательным и меньше `1.0`. *abs\_tol* – это абсолютный допуск; по умолчанию он равен `0.0` и должен быть неотрицательным. При сравнении `x` с `0.0`, `isclose(x, 0)` вычисляется как `abs(x) <= rel_tol * abs(x)`, что равно `False` для любого ненулевого `x` и *rel\_tol* меньшего, чем `1.0`. Поэтому добавьте соответствующий положительный аргумент *abs\_tol* в вызов. Особые значения IEEE 754: `NaN`, `inf` и `-inf` обрабатываются согласно правилам IEEE. В частности, `NaN` не считается близким ни к какому другому значению, включая `NaN`. `inf` и `-inf` считаются близкими только сами к себе. Добавлено в версии 3.5. > **См. также** > > [**PEP 485**](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) – Функция для проверки приблизительного равенства #### `math.isfinite(x)` Возвращает `True`, если *x* не является ни бесконечностью, ни NaN, и `False` в противном случае. (Заметьте, что `0.0` *считается* конечным.) Добавлено в версии 3.2. #### `math.isnormal(x)` Возвращает `True`, если *x* – нормальное число, то есть ненулевое конечное число, не являющееся субнормальным (см. [`issubnormal()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.issubnormal)). В противном случае возвращает `False`. Добавлено в версии 3.15. #### `math.issubnormal(x)` Возвращает `True`, если *x* – субнормальное число, то есть ненулевое конечное число, чья абсолютная величина меньше [`sys.float_info.min`](https://python-all.ru/3.16/library/sys.html#sys.float_info.min). В противном случае возвращает `False`. Добавлено в версии 3.15. #### `math.isinf(x)` Возвращает `True`, если *x* является положительной или отрицательной бесконечностью, и `False` в противном случае. #### `math.isnan(x)` Возвращает `True`, если *x* является NaN (не числом), и `False` в противном случае. #### `math.ldexp(x, i)` Возвращает `x * (2**i)`. По сути, это обратная функция по отношению к [`frexp()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.frexp). #### `math.nextafter(x, y, steps=1)` Возвращает значение с плавающей запятой, отстоящее на *steps* шагов от *x* в направлении *y*. Если *x* равно *y*, возвращает *y*, если только *steps* не равно нулю. Примеры: - `math.nextafter(x, math.inf)` идёт вверх: в сторону положительной бесконечности. - `math.nextafter(x, -math.inf)` идёт вниз: в сторону минус бесконечности. - `math.nextafter(x, 0.0)` идёт к нулю. - `math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))` идёт от нуля. См. также [`math.ulp()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.ulp). Добавлено в версии 3.9. Изменено в версии 3.12: Добавлен аргумент *steps*. #### `math.signbit(x)` Возвращает `True`, если знак числа *x* отрицателен, и `False` в противном случае. Это полезно для определения знакового бита нулей, бесконечностей и NaN. Добавлено в версии 3.15. #### `math.ulp(x)` Возвращает значение наименее значащего бита числа с плавающей запятой *x*: - Если *x* – NaN (не число), возвращает *x*. - Если *x* отрицательно, возвращает `ulp(-x)`. - Если *x* – положительная бесконечность, возвращает *x*. - Если *x* равен нулю, возвращает наименьший положительный *денормализованный* представимый float (меньше минимального положительного *нормализованного* float, [`sys.float_info.min`](https://python-all.ru/3.16/library/sys.html#sys.float_info)). - Если *x* равен наибольшему положительному представимому float, возвращает значение наименее значащего бита *x*, такое, что первый float, меньший *x*, равен `x - ulp(x)`. - В противном случае (*x* – положительное конечное число) возвращает значение наименее значащего бита *x*, такое, что первый float, больший *x*, равен `x + ulp(x)`. ULP означает «единица в последнем разряде». См. также [`math.nextafter()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.nextafter) и [`sys.float_info.epsilon`](https://python-all.ru/3.16/library/sys.html#sys.float_info). Добавлено в версии 3.9. ## Степенные, показательные и логарифмические функции #### `math.cbrt(x)` Возвращает кубический корень из *x*. Добавлено в версии 3.12. #### `math.exp(x)` Возвращает *e*, возведённое в степень *x*, где *e* = 2.718281… – основание натуральных логарифмов. Обычно это точнее, чем `math.e ** x` или `pow(math.e, x)`. #### `math.exp2(x)` Возвращает *2*, возведённое в степень *x*. Добавлено в версии 3.12. #### `math.expm1(x)` Возвращает *e*, возведённое в степень *x*, минус 1. Здесь *e* – основание натуральных логарифмов. Для малых чисел с плавающей запятой *x* вычитание в `exp(x) - 1` может привести к [значительной потере точности](https://python-all.ru/3.16/library/math.html); функция `expm1()` позволяет вычислить это значение с полной точностью: ```python >>> from math import exp, expm1 >>> exp(1e-5) - 1 # даёт результат с точностью до 11 знаков 1.0000050000069649e-05 >>> expm1(1e-5) # результат с полной точностью 1.0000050000166668e-05 ``` Добавлено в версии 3.2. #### `math.log(x[, base])` С одним аргументом возвращает натуральный логарифм *x* (по основанию *e*). С двумя аргументами возвращает логарифм *x* по заданному основанию *base*, вычисленный как `log(x)/log(base)`. #### `math.log1p(x)` Возвращает натуральный логарифм *1+x* (основание *e*). Результат вычисляется способом, точным для *x* вблизи нуля. #### `math.log2(x)` Возвращает двоичный логарифм *x*. Обычно это точнее, чем `log(x, 2)`. Добавлено в версии 3.3. > **См. также** > > [`int.bit_length()`](https://python-all.ru/3.16/library/stdtypes.html#int.bit_length) возвращает количество битов, необходимое для представления целого числа в двоичном виде, без учёта знака и ведущих нулей. #### `math.log10(x)` Возвращает десятичный логарифм *x*. Обычно это точнее, чем `log(x, 10)`. #### `math.pow(x, y)` Возвращает *x*, возведённое в степень *y*. Особые случаи по возможности следуют стандарту IEEE 754. В частности, `pow(1.0, x)` и `pow(x, 0.0)` всегда возвращают `1.0`, даже когда *x* – нуль или NaN. Если *x* и *y* конечны, *x* отрицательно, а *y* не является целым, то `pow(x, y)` не определено и возбуждает [`ValueError`](https://python-all.ru/3.16/library/exceptions.html#ValueError). В отличие от встроенного оператора `**`, `math.pow()` преобразует оба аргумента к типу [`float`](https://python-all.ru/3.16/library/functions.html#float). Используйте `**` или встроенную функцию `pow()` для точного вычисления целочисленных степеней. Изменено в версии 3.11: Особые случаи `pow(0.0, -inf)` и `pow(-0.0, -inf)` были изменены так, чтобы возвращать `inf` вместо возбуждения [`ValueError`](https://python-all.ru/3.16/library/exceptions.html#ValueError), для согласованности с IEEE 754. #### `math.sqrt(x)` Возвращает квадратный корень из *x*. ## Функции суммирования и произведения #### `math.dist(p, q)` Возвращает евклидово расстояние между двумя точками *p* и *q*, каждая из которых задаётся как последовательность (или итерируемый объект) координат. Обе точки должны иметь одинаковую размерность. Примерно эквивалентно: ```python sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q, strict=True))) ``` Добавлено в версии 3.8. #### `math.fsum(iterable)` Возвращает точную сумму значений с плавающей запятой из итерируемого объекта. Избегает потери точности за счёт отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм. Точность алгоритма зависит от гарантий арифметики IEEE-754 и типичного случая, когда режим округления – «half-even». В некоторых сборках не под Windows базовая библиотека C использует сложение с расширенной точностью и может иногда дважды округлять промежуточную сумму, что приводит к ошибке в самом младшем значащем бите. Для более подробного обсуждения и двух альтернативных подходов см. [рецепты ASPN cookbook для точного суммирования чисел с плавающей запятой](https://python-all.ru/3.16/library/math.html). #### `math.hypot(*coordinates)` Возвращает евклидову норму, `sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))`. Это длина вектора от начала координат до точки, заданной координатами. Для двумерной точки `(x, y)` это эквивалентно вычислению гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора, `sqrt(x*x + y*y)`. Изменено в версии 3.8: Добавлена поддержка n-мерных точек. Ранее поддерживался только двумерный случай. Изменено в версии 3.10: Улучшена точность алгоритма так, что максимальная ошибка составляет менее 1 ulp (единицы в последнем разряде). Как правило, результат почти всегда правильно округлён с точностью до 1/2 ulp. #### `math.prod(iterable, *, start=1)` Вычисляет произведение всех элементов входного *итерируемого объекта*. Значение *start* по умолчанию для произведения равно `1`. Если итерируемый объект пуст, возвращает начальное значение. Эта функция предназначена специально для работы с числовыми значениями и может отвергать нечисловые типы. Добавлено в версии 3.8. #### `math.sumprod(p, q)` Возвращает сумму произведений значений из двух итерируемых объектов *p* и *q*. Возбуждает [`ValueError`](https://python-all.ru/3.16/library/exceptions.html#ValueError), если входные данные имеют разную длину. Примерно эквивалентно: ```python sum(map(operator.mul, p, q, strict=True)) ``` Для входных данных типа float и смешанных int/float промежуточные произведения и суммы вычисляются с расширенной точностью. Добавлено в версии 3.12. ## Преобразование углов #### `math.degrees(x)` Преобразует угол *x* из радианов в градусы. #### `math.radians(x)` Преобразует угол *x* из градусов в радианы. ## Тригонометрические функции #### `math.acos(x)` Возвращает арккосинус *x* в радианах. Результат находится в диапазоне от `0` до `pi`. #### `math.acospi(x)` Возвращает арккосинус *x* в полуоборотах. Результат находится между `0` и `1`. Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). #### `math.asin(x)` Возвращает арксинус *x* в радианах. Результат находится в диапазоне от `-pi/2` до `pi/2`. #### `math.asinpi(x)` Возвращает арксинус *x* в полуоборотах. Результат находится между `-0.5` и `0.5`. Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). #### `math.atan(x)` Возвращает арктангенс *x* в радианах. Результат находится в диапазоне от `-pi/2` до `pi/2`. #### `math.atanpi(x)` Возвращает арктангенс *x* в полуоборотах. Результат находится между `-0.5` и `0.5`. Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). #### `math.atan2(y, x)` Возвращает `atan(y / x)` в радианах. Результат находится в диапазоне от `-pi` до `pi`. Вектор на плоскости от начала координат до точки `(x, y)` образует этот угол с положительной осью X. Особенность `atan2()` в том, что ему известны знаки обоих аргументов, поэтому он может вычислить правильный квадрант для угла. Например, `atan(1)` и `atan2(1, 1)` равны `pi/4`, но `atan2(-1, -1)` равен `-3*pi/4`. #### `math.atan2pi(y, x)` Возвращает `atanpi(y / x)` в полуоборотах. Результат находится между `-1` и `1`. Вектор на плоскости от начала координат до точки `(x, y)` образует этот угол с положительной осью X. Смысл `atan2pi()` в том, что ему известны знаки обоих входных аргументов, поэтому он может вычислить правильный квадрант для угла. Например, `atanpi(1)` и `atan2pi(1, 1)` оба равны `0.25`, но `atan2pi(-1, -1)` равно `-0.75`. Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). #### `math.cos(x)` Возвращает косинус *x* радиан. #### `math.cospi(x)` Возвращает косинус *x* полуоборотов (*x⋅π* радиан). Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). #### `math.sin(x)` Возвращает синус *x* радиан. #### `math.sinpi(x)` Возвращает синус *x* полуоборотов (*x⋅π* радиан). Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). #### `math.tan(x)` Возвращает тангенс *x* радиан. #### `math.tanpi(x)` Возвращает тангенс *x* полуоборотов (*x⋅π* радиан). Добавлено в версии 3.16.0a0 (не выпущено). ## Гиперболические функции [Гиперболические функции](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) – это аналоги тригонометрических функций, основанные на гиперболах, а не на окружностях. #### `math.acosh(x)` Возвращает обратный гиперболический косинус *x*. #### `math.asinh(x)` Возвращает обратный гиперболический синус *x*. #### `math.atanh(x)` Возвращает обратный гиперболический тангенс *x*. #### `math.cosh(x)` Возвращает гиперболический косинус *x*. #### `math.sinh(x)` Возвращает гиперболический синус *x*. #### `math.tanh(x)` Возвращает гиперболический тангенс *x*. ## Специальные функции #### `math.erf(x)` Возвращает значение [функции ошибок](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) в точке *x*. Функция `erf()` может использоваться для вычисления традиционных статистических функций, таких как [кумулятивное стандартное нормальное распределение](https://python-all.ru/3.16/library/math.html): ```python def phi(x): 'Cumulative distribution function for the standard normal distribution' return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0 ``` Добавлено в версии 3.2. #### `math.erfc(x)` Возвращает дополнительную функцию ошибок в точке *x*. [Дополнительная функция ошибок](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) определяется как `1.0 - erf(x)`. Она используется для больших значений *x*, где вычитание из единицы может привести к [потере значимости](https://python-all.ru/3.16/library/math.html). Добавлено в версии 3.2. #### `math.gamma(x)` Возвращает значение [гамма-функции](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) в точке *x*. Добавлено в версии 3.2. #### `math.lgamma(x)` Возвращает натуральный логарифм абсолютного значения гамма-функции в точке *x*. Добавлено в версии 3.2. ## Теоретико-числовые функции Для обратной совместимости модуль `math` также предоставляет псевдонимы следующих функций из модуля [`math.integer`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#module-math.integer): | [`comb(n, k)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#math.integer.comb) | Количество способов выбрать *k* элементов из *n* элементов без повторений и без учёта порядка | | --- | --- | | [`factorial(n)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#math.integer.factorial) | Факториал *n* | | [`gcd(*integers)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#math.integer.gcd) | Наибольший общий делитель целочисленных аргументов | | [`isqrt(n)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#math.integer.isqrt) | Целочисленный квадратный корень из неотрицательного целого *n* | | [`lcm(*integers)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#math.integer.lcm) | Наименьшее общее кратное целочисленных аргументов | | [`perm(n, k)`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#math.integer.perm) | Количество способов выбрать *k* элементов из *n* элементов без повторений и с учётом порядка | Добавлено в версии 3.5: Функция [`gcd()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.gcd). Добавлено в версии 3.8: Функции [`comb()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.comb), [`perm()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.perm) и [`isqrt()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isqrt). Добавлено в версии 3.9: Функция [`lcm()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.lcm). Изменено в версии 3.9: Добавлена поддержка произвольного количества аргументов в функции [`gcd()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.gcd) . Ранее поддерживались только два аргумента. Изменено в версии 3.10: Числа с плавающей запятой с целыми значениями (например, `5.0`) больше не принимаются в функции [`factorial()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.factorial). [Мягко устарело](https://python-all.ru/3.16/glossary.html#term-soft-deprecated) с версии 3.15: Используйте функции [`math.integer`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#module-math.integer) вместо этих псевдонимов. ## Константы #### `math.pi` Математическая константа *π* = 3,141592… с доступной точностью. #### `math.e` Математическая константа *e* = 2,718281… с доступной точностью. #### `math.tau` Математическая константа *τ* = 6,283185… с доступной точностью. Тау – это константа окружности, равная 2*π*, отношению длины окружности к её радиусу. Чтобы узнать больше о Тау, посмотрите видео Ви Харт [Pi is (still) Wrong](https://python-all.ru/3.16/library/math.html) и начните праздновать [День Тау](https://python-all.ru/3.16/library/math.html), съев вдвое больше пирога! Добавлено в версии 3.6. #### `math.inf` Положительная бесконечность с плавающей запятой. (Для отрицательной бесконечности используйте `-math.inf`.) Эквивалентно результату `float('inf')`. Добавлено в версии 3.5. #### `math.nan` Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно результату `float('nan')`. В соответствии с требованиями стандарта [IEEE-754](https://python-all.ru/3.16/library/math.html), `math.nan` и `float('nan')` не считаются равными никакому другому числовому значению, включая самих себя. Чтобы проверить, является ли число NaN, используйте функцию [`isnan()`](https://python-all.ru/3.16/library/math.html#math.isnan) для проверки на NaN вместо `is` или `==`. Пример: ```python >>> import math >>> math.nan == math.nan False >>> float('nan') == float('nan') False >>> math.isnan(math.nan) True >>> math.isnan(float('nan')) True ``` Добавлено в версии 3.5. Изменено в версии 3.11: Теперь всегда доступно. **Особенность реализации CPython:** Модуль `math` в основном состоит из тонких обёрток вокруг функций математической библиотеки C платформы. Поведение в исключительных случаях следует приложению F стандарта C99, где это применимо. Текущая реализация вызывает [`ValueError`](https://python-all.ru/3.16/library/exceptions.html#ValueError) для недопустимых операций, таких как `sqrt(-1.0)` или `log(0.0)` (где приложение F C99 рекомендует сигнализировать о недопустимой операции или делении на ноль), и [`OverflowError`](https://python-all.ru/3.16/library/exceptions.html#OverflowError) для результатов, вызывающих переполнение (например, `exp(1000.0)`). NaN не будет возвращён ни одной из указанных выше функций, если только один или несколько входных аргументов не были NaN; в этом случае большинство функций вернут NaN, но (опять же следуя приложению F C99) есть некоторые исключения из этого правила, например `pow(float('nan'), 0.0)` или `hypot(float('nan'), float('inf'))`. Обратите внимание, что Python не различает сигнальные NaN и тихие NaN, и поведение для сигнальных NaN остаётся неуточнённым. Обычное поведение – обрабатывать все NaN так, как будто они тихие. > **См. также** > > **Модуль [`cmath`](https://python-all.ru/3.16/library/cmath.html#module-cmath)** > > Версии многих из этих функций для комплексных чисел. > > **Модуль [`math.integer`](https://python-all.ru/3.16/library/math.integer.html#module-math.integer)** > > Математические функции для целых чисел.