> **Источник:** https://python-all.ru/3.0/tutorial/floatingpoint.html
>
> «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor.

---

# Арифметика с плавающей запятой: проблемы и ограничения

Числа с плавающей запятой представляются в компьютерном оборудовании в виде двоичных дробей (по основанию 2). Например, десятичная дробь

```python
0.125
```

имеет значение 1/10 + 2/100 + 5/1000, и точно так же двоичная дробь

```python
0.001
```

имеет значение 0/2 + 0/4 + 1/8. Эти две дроби имеют одинаковые значения, единственное различие в том, что первая записана в десятичной системе счисления, а вторая – в двоичной.

К сожалению, большинство десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных дробей. Следствием этого является то, что, вообще говоря, вводимые десятичные числа с плавающей запятой лишь приблизительно соответствуют двоичным числам с плавающей запятой, которые на самом деле хранятся в машине.

Проблему легче сначала понять в десятичной системе. Рассмотрим дробь 1/3. Её можно приблизить десятичной дробью:

```python
0.3
```

или, лучше,

```python
0.33
```

или, лучше,

```python
0.333
```

и так далее. Сколько бы цифр вы ни захотели записать, результат никогда не будет точно равен 1/3, но будет всё лучшим приближением к 1/3.

Точно так же, сколько бы двоичных цифр вы ни захотели использовать, десятичное значение 0.1 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. В двоичной системе 1/10 – это бесконечно повторяющаяся дробь

```python
0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...
```

Если остановиться на любом конечном числе битов, получается приближение. Поэтому можно увидеть такие результаты:

```python
>>> 0.1
0.10000000000000001
```

На большинстве современных машин это именно то, что вы увидите, если введёте 0.1 в приглашении Python. Однако может быть иначе, поскольку количество битов, используемых оборудованием для хранения значений с плавающей запятой, может различаться на разных машинах, и Python выводит только десятичное приближение к истинному десятичному значению двоичного приближения, хранящегося на машине. На большинстве машин, если бы Python выводил истинное десятичное значение двоичного приближения, хранящегося для 0.1, ему пришлось бы отобразить

```python
>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
```

Напротив! Приглашение Python использует встроенную функцию [`repr()`](https://python-all.ru/3.0/library/functions.html#repr) для получения строкового представления всего, что оно отображает. Для чисел с плавающей запятой `repr(float)` округляет истинное десятичное значение до 17 значащих цифр, выдавая

```python
0.10000000000000001
```

`repr(float)` выдаёт 17 значащих цифр, поскольку оказывается, что этого достаточно (на большинстве машин), чтобы `eval(repr(x)) == x` для всех конечных чисел с плавающей запятой *x*, но округление до 16 цифр уже не обеспечивает этого.

Обратите внимание, что это в самой природе двоичной плавающей арифметики: это не ошибка в Python и не ошибка в вашем коде. То же самое вы увидите во всех языках, которые поддерживают арифметику с плавающей точкой вашего оборудования (хотя некоторые языки могут не *показывать* различие по умолчанию или во всех режимах вывода).

Встроенная функция [`str()`](https://python-all.ru/3.0/library/functions.html#str) в Python выдаёт только 12 значащих цифр, и, возможно, вы предпочтёте использовать её. Обычно `eval(str(x))` не воспроизводит *x*, но вывод может быть более приятным для глаз:

```python
>>> print(str(0.1))
0.1
```

Важно понимать, что в определённом смысле это иллюзия: значение в машине не равно в точности 1/10, вы просто округляете *отображение* истинного машинного значения.

Из этого вытекают и другие неожиданности. Например, после того как увидите

```python
>>> 0.1
0.10000000000000001
```

вам может захотеться использовать функцию [`round()`](https://python-all.ru/3.0/library/functions.html#round), чтобы сократить его до ожидаемой одной цифры. Но это ничего не меняет:

```python
>>> round(0.1, 1)
0.10000000000000001
```

Проблема в том, что двоичное значение с плавающей запятой, хранящееся для «0.1», уже было наилучшим возможным двоичным приближением к 1/10, поэтому попытка округлить его снова не может улучшить: оно уже настолько хорошо, насколько это возможно.

Другое следствие: поскольку 0.1 не равно точно 1/10, сумма десяти значений 0.1 может не дать в точности 1.0:

```python
>>> sum = 0.0
>>> for i in range(10):
...     sum += 0.1
...
>>> sum
0.99999999999999989
```

Двоичная арифметика с плавающей запятой таит в себе множество подобных сюрпризов. Проблема с «0.1» подробно объясняется ниже, в разделе «Ошибка представления». См. [Опасности чисел с плавающей запятой](https://python-all.ru/3.0/tutorial/floatingpoint.html) для более полного описания других распространённых сюрпризов.

Как говорится ближе к концу, «лёгких ответов нет». Тем не менее, не стоит чрезмерно опасаться чисел с плавающей запятой! Ошибки в операциях с float в Python наследуются от аппаратного обеспечения с плавающей запятой, и на большинстве машин составляют не более 1 части на 2\*\*53 за операцию. Этого более чем достаточно для большинства задач, но необходимо помнить, что это не десятичная арифметика, и что каждая операция с float может привести к новой ошибке округления.

Хотя патологические случаи существуют, при обычном использовании арифметики с плавающей запятой в конечном итоге вы увидите ожидаемый результат, если просто округлить отображение окончательных результатов до нужного количества десятичных знаков. [`str()`](https://python-all.ru/3.0/library/functions.html#str) обычно достаточно, а для более точного управления смотрите [`str.format()`](https://python-all.ru/3.0/library/stdtypes.html#str.format) спецификаторы формата метода в [*Синтаксис строк форматирования*](https://python-all.ru/3.0/library/string.html#formatstrings).

Для случаев, требующих точного десятичного представления, попробуйте использовать модуль [`decimal`](https://python-all.ru/3.0/library/decimal.html#module-decimal), который реализует десятичную арифметику, подходящую для бухгалтерских приложений и приложений с высокой точностью.

Другой вид точной арифметики поддерживается модулем [`fractions`](https://python-all.ru/3.0/library/fractions.html#module-fractions), который реализует арифметику на основе рациональных чисел (так что числа вроде 1/3 могут быть представлены точно).

Если вы активно используете операции с плавающей запятой, вам стоит взглянуть на пакет Numerical Python и многие другие пакеты для математических и статистических операций, предоставляемые проектом SciPy. См. \<[http://scipy.org](https://python-all.ru/3.0/tutorial/floatingpoint.html)\>.

Python предоставляет инструменты, которые могут помочь в тех редких случаях, когда вы действительно *хотите* узнать точное значение числа с плавающей запятой. Метод [`float.as_integer_ratio()`](https://python-all.ru/3.0/library/stdtypes.html#float.as_integer_ratio) выражает значение числа с плавающей запятой в виде дроби:

```python
>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719L, 1125899906842624L)
```

Поскольку отношение точное, его можно использовать для восстановления исходного значения без потерь:

```python
>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True
```

Метод [`float.hex()`](https://python-all.ru/3.0/library/stdtypes.html#float.hex) выражает число с плавающей запятой в шестнадцатеричном формате (основание 16), снова предоставляя точное значение, хранящееся на вашем компьютере:

```python
>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'
```

Это точное шестнадцатеричное представление можно использовать для точного восстановления значения числа с плавающей запятой:

```python
>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True
```

Поскольку представление точное, оно полезно для надёжного переноса значений между разными версиями Python (независимость от платформы) и обмена данными с другими языками, поддерживающими тот же формат (например, Java и C99).

## Ошибка представления

В этом разделе подробно объясняется пример «0.1» и показывается, как можно самостоятельно выполнить точный анализ подобных случаев. Предполагается базовое знакомство с двоичным представлением чисел с плавающей запятой.

*Ошибка представления* относится к тому факту, что некоторые (на самом деле большинство) десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных (по основанию 2) дробей. Это главная причина, по которой Python (или Perl, C, C++, Java, Fortran и многие другие) часто не отображают точное десятичное число, которое вы ожидаете:

```python
>>> 0.1
0.10000000000000001
```

Почему так? 1/10 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. Почти все современные машины (ноябрь 2000 года) используют арифметику с плавающей запятой IEEE-754, и почти все платформы отображают числа с плавающей запятой Python на «двойную точность» IEEE-754. Числа двойной точности 754 содержат 53 бита точности, поэтому при вводе компьютер стремится преобразовать 0.1 в ближайшую возможную дробь вида *J*/2\*\**N*, где *J* – целое число, содержащее ровно 53 бита. Переписывая

```python
1 / 10 ~= J / (2**N)
```

как

```python
J ~= 2**N / 10
```

и вспоминая, что *J* имеет ровно 53 бита (`>= 2**52`, но `< 2**53`), наилучшим значением для *N* является 56:

```python
>>> 2**52
4503599627370496
>>> 2**53
9007199254740992
>>> 2**56/10
7205759403792794.0
```

То есть 56 – единственное значение для *N*, которое оставляет *J* с ровно 53 битами. Наилучшее возможное значение для *J* тогда – это округлённое частное:

```python
>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6
```

Поскольку остаток больше половины 10, наилучшее приближение получается округлением вверх:

```python
>>> q+1
7205759403792794
```

Следовательно, наилучшее возможное приближение к 1/10 в двойной точности 754 – это число, превышающее 2\*\*56, или

```python
7205759403792794 / 72057594037927936
```

Обратите внимание, что, поскольку мы округлили вверх, это значение на самом деле немного больше 1/10; если бы мы не округлили вверх, частное было бы немного меньше 1/10. Но в любом случае оно не может быть *точно* 1/10!

Таким образом, компьютер никогда не «видит» 1/10: он видит точную дробь, приведённую выше, – наилучшее приближение двойной точности 754, которое он может получить:

```python
>>> .1 * 2**56
7205759403792794.0
```

Если умножить эту дробь на 10\*\*30, можно увидеть (усечённое) значение её 30 наиболее значащих десятичных цифр:

```python
>>> 7205759403792794 * 10**30 / 2**56
100000000000000005551115123125
```

то есть точное число, хранящееся в компьютере, приблизительно равно десятичному значению 0.100000000000000005551115123125. Округление этого до 17 значащих цифр даёт 0.10000000000000001, которое Python отображает (точнее, будет отображать на любой платформе, соответствующей 754 и выполняющей наилучшие возможные преобразования ввода и вывода в своей библиотеке C – ваша может и не!).