> **Источник:** https://python-all.ru/2.7/tutorial/floatingpoint.html
>
> «Документация Python на русском» – неофициальный перевод официальной документации Python: версии от 2.6 до 3.16, полнотекстовый поиск, английский оригинал рядом с переводом. Эта Markdown-версия страницы предназначена для работы с LLM: вставьте её в ChatGPT, Claude или Cursor.

---

# 14. Арифметика с плавающей точкой: проблемы и ограничения

Числа с плавающей запятой представляются в компьютерном оборудовании в виде двоичных дробей (по основанию 2). Например, десятичная дробь

```python
0.125
```

имеет значение 1/10 + 2/100 + 5/1000, и точно так же двоичная дробь

```python
0.001
```

имеет значение 0/2 + 0/4 + 1/8. Эти две дроби имеют одинаковые значения, единственное различие в том, что первая записана в десятичной системе счисления, а вторая – в двоичной.

К сожалению, большинство десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных дробей. Следствием этого является то, что, вообще говоря, вводимые десятичные числа с плавающей запятой лишь приблизительно соответствуют двоичным числам с плавающей запятой, которые на самом деле хранятся в машине.

Проблему легче сначала понять в десятичной системе. Рассмотрим дробь 1/3. Её можно приблизить десятичной дробью:

```python
0.3
```

или, лучше,

```python
0.33
```

или, лучше,

```python
0.333
```

и так далее. Сколько бы цифр вы ни захотели записать, результат никогда не будет точно равен 1/3, но будет всё лучшим приближением к 1/3.

Точно так же, сколько бы двоичных цифр вы ни захотели использовать, десятичное значение 0.1 не может быть точно представлено в виде двоичной дроби. В двоичной системе 1/10 – это бесконечно повторяющаяся дробь

```python
0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...
```

Остановка на любом конечном числе битов даёт приближение.

На типичной машине, работающей под Python, для чисел с плавающей запятой доступно 53 бита точности, поэтому значение, сохраняемое внутри при вводе десятичного числа `0.1`, представляет собой двоичную дробь

```python
0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010
```

которая близка к 1/10, но не равна ей точно.

Легко забыть, что сохранённое значение является приближением к исходной десятичной дроби, из-за того, как числа с плавающей запятой отображаются в приглашении интерпретатора. Python печатает лишь десятичное приближение к истинному десятичному значению двоичного приближения, хранящегося в машине. Если бы Python печатал истинное десятичное значение двоичного приближения, сохранённого для 0.1, ему пришлось бы отобразить

```python
>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
```

Это больше цифр, чем обычно нужно, поэтому Python сохраняет число цифр управляемым, отображая вместо этого округлённое значение

```python
>>> 0.1
0.1
```

Важно понимать, что это, в некотором смысле, иллюзия: значение в машине не равно в точности 1/10, вы просто округляете *отображение* истинного машинного значения. Этот факт становится очевидным, как только вы попытаетесь выполнять арифметические операции с этими значениями.

```python
>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
```

Обратите внимание, что это сама суть двоичной арифметики с плавающей запятой: это не ошибка в Python и не ошибка в вашем коде. Вы увидите то же самое во всех языках, поддерживающих аппаратную арифметику с плавающей запятой (хотя некоторые языки могут не *отображать* разницу по умолчанию или во всех режимах вывода).

Из этого вытекают и другие неожиданности. Например, если попытаться округлить значение 2.675 до двух десятичных знаков, получится следующее

```python
>>> round(2.675, 2)
2.67
```

В документации к встроенной функции [`round()`](https://python-all.ru/2.7/library/functions.html#round) сказано, что она округляет до ближайшего значения, округляя связи от нуля. Поскольку десятичная дробь 2.675 находится ровно посередине между 2.67 и 2.68, можно было бы ожидать, что результатом будет (двоичное приближение к) 2.68. Однако это не так, потому что при преобразовании десятичной строки `2.675` в двоичное число с плавающей запятой оно снова заменяется двоичным приближением, точное значение которого равно

```python
2.67499999999999982236431605997495353221893310546875
```

Поскольку это приближение немного ближе к 2.67, чем к 2.68, оно округляется вниз.

Если вы находитесь в ситуации, когда важно, как округляются десятичные значения, находящиеся ровно посередине, стоит рассмотреть использование модуля [`decimal`](https://python-all.ru/2.7/library/decimal.html#module-decimal). Кстати, модуль [`decimal`](https://python-all.ru/2.7/library/decimal.html#module-decimal) также предоставляет удобный способ «увидеть» точное значение, хранящееся в любом конкретном числе с плавающей запятой Python.

```python
>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal(2.675)
Decimal('2.67499999999999982236431605997495353221893310546875')
```

Другое следствие: поскольку 0.1 не равно в точности 1/10, суммирование десяти значений 0.1 может не дать точно 1.0:

```python
>>> sum = 0.0
>>> for i in range(10):
...     sum += 0.1
...
>>> sum
0.9999999999999999
```

Двоичная арифметика с плавающей запятой таит в себе множество подобных сюрпризов. Проблема с «0.1» подробно объясняется ниже, в разделе «Ошибка представления». См. [Опасности чисел с плавающей запятой](https://python-all.ru/2.7/tutorial/floatingpoint.html) для более полного описания других распространённых сюрпризов.

Как говорится ближе к концу, «лёгких ответов нет». Тем не менее, не стоит чрезмерно опасаться чисел с плавающей запятой! Ошибки в операциях с float в Python наследуются от аппаратного обеспечения с плавающей запятой, и на большинстве машин составляют не более 1 части на 2\*\*53 за операцию. Этого более чем достаточно для большинства задач, но необходимо помнить, что это не десятичная арифметика, и что каждая операция с float может привести к новой ошибке округления.

Хотя патологические случаи существуют, при обычном использовании арифметики с плавающей запятой вы в итоге увидите ожидаемый результат, если просто округлите отображение конечных результатов до ожидаемого числа десятичных знаков. Для точного управления отображением чисел с плавающей запятой обратитесь к спецификаторам формата метода [`str.format()`](https://python-all.ru/2.7/library/stdtypes.html#str.format) в [Синтаксисе строк форматирования](https://python-all.ru/2.7/library/string.html#formatstrings).

## 14.1. Ошибка представления

В этом разделе подробно объясняется пример с «0.1» и показывается, как можно самостоятельно выполнить точный анализ подобных случаев. Предполагается базовое знакомство с двоичным представлением чисел с плавающей запятой.

*Ошибка представления* относится к тому факту, что некоторые (на самом деле большинство) десятичных дробей не могут быть точно представлены в виде двоичных (по основанию 2) дробей. Это главная причина, по которой Python (или Perl, C, C++, Java, Fortran и многие другие) часто не отображают точное десятичное число, которое вы ожидаете:

```python
>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
```

Почему так? 1/10 и 2/10 не могут быть точно представлены в виде двоичной дроби. Почти все современные машины (июль 2010) используют арифметику с плавающей запятой IEEE-754, и почти все платформы отображают числа с плавающей запятой Python на «двойную точность» IEEE-754. Числа двойной точности содержат 53 бита точности, поэтому при вводе компьютер стремится преобразовать 0.1 в ближайшую дробь вида *J*/2\*\**N*, где *J* – целое число, содержащее ровно 53 бита. Переписывая

```python
1 / 10 ~= J / (2**N)
```

как

```python
J ~= 2**N / 10
```

и вспоминая, что *J* имеет ровно 53 бита (`>= 2**52`, но `< 2**53`), наилучшим значением для *N* является 56:

```python
>>> 2**52
4503599627370496
>>> 2**53
9007199254740992
>>> 2**56/10
7205759403792793
```

То есть 56 – единственное значение для *N*, при котором *J* содержит ровно 53 бита. Наилучшее возможное значение для *J* тогда – это округлённое частное:

```python
>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6
```

Поскольку остаток больше половины 10, наилучшее приближение получается округлением вверх:

```python
>>> q+1
7205759403792794
```

Следовательно, наилучшее возможное приближение к 1/10 в двойной точности 754 – это число, превышающее 2\*\*56, или

```python
7205759403792794 / 72057594037927936
```

Обратите внимание, что поскольку мы округлили вверх, это значение на самом деле немного больше 1/10; если бы мы не округлили вверх, частное было бы немного меньше 1/10. Но ни в коем случае оно не может быть *точно* равным 1/10!

Таким образом, компьютер никогда не «видит» 1/10: он видит точную дробь, приведённую выше, – наилучшее приближение двойной точности 754, которое он может получить:

```python
>>> .1 * 2**56
7205759403792794.0
```

Если умножить эту дробь на 10\*\*30, можно увидеть (усечённое) значение её 30 наиболее значащих десятичных цифр:

```python
>>> 7205759403792794 * 10**30 // 2**56
100000000000000005551115123125L
```

что означает, что точное число, хранящееся в компьютере, приблизительно равно десятичному значению 0.100000000000000005551115123125. В версиях до Python 2.7 и Python 3.1 Python округлял это значение до 17 значащих цифр, получая '0.10000000000000001'. В текущих версиях Python отображает значение, основанное на кратчайшей десятичной дроби, которая правильно округляется обратно к истинному двоичному значению, что даёт просто '0.1'.